Question

17．如圖甲所示，ABCD是一長(zhǎng)方形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)邊界，磁感應(yīng)強(qiáng)度按圖乙規(guī)律變化，取垂直紙面向外為磁場(chǎng)的正方向，圖中AB=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{3}$L，一質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電粒子以速度v₀在t=0時(shí)從A點(diǎn)沿AB方向垂直磁場(chǎng)射入，粒子重力不計(jì)．

（1）若粒子經(jīng)時(shí)間t=$\frac{3}{2}$T₀恰好垂直打在CD上，求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀和運(yùn)動(dòng)中的加速度a大�。�
（2）若要使粒子恰能沿DC方向通過(guò)C點(diǎn)，求磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀及變化的周期T₀．

Answer 1

分析 （1）若粒子經(jīng)時(shí)間t=$\frac{3}{2}$T₀恰好垂直打在CD上，粒子的軌跡必定為3個(gè)四分之一圓周，有幾何關(guān)系定出半徑，由洛倫茲力提供向心力，求得磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀和運(yùn)動(dòng)中的加速度a大小；
（2）若要使粒子恰能沿DC方向通過(guò)C點(diǎn)，粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間必定為磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期的整數(shù)倍，根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求得半徑大小，得出磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀及變化的周期T₀．

解答 解：（1）若粒子經(jīng)時(shí)間t=$\frac{3}{2}$T₀恰好垂直打在CD上，粒子的軌跡必定為3個(gè)四分之一圓周，如圖，
由幾何關(guān)系得，運(yùn)動(dòng)半徑為r=$\frac{L}{3}$①
由洛倫茲力提供向心力得，${B}_{0}{qv}_{0}=\frac{{mv}_{0}^{2}}{r}$②
聯(lián)立可得，${B}_{0}=\frac{{3mv}_{0}}{qL}$③
運(yùn)動(dòng)中的加速度為：a=$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$④
由①②③④得，B=$\frac{{3mv}_{0}}{qL}$，a=$\frac{{3v}_{0}^{2}}{L}$
（2）若要使粒子恰能沿DC方向通過(guò)C點(diǎn)，粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間必定為磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期的整數(shù)倍，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可得，軌道半徑r$′=\frac{L}{{2}^{n}}$   n=0、1、2、3、⑤
由由洛倫茲力提供向心力得，${B}_{0}{qv}_{0}=\frac{{mv}_{0}^{2}}{r′}$⑥
由⑤⑥得，${B}_{0}=\frac{{{2}^{n}mv}_{0}^{2}}{{qv}_{0}L}$   n=0、1、2、3、⑦
粒子圓周運(yùn)動(dòng)周期為：T=$\frac{2πr′}{{v}_{0}}$⑧
磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的周期：T₀=T⑨
由⑤⑧⑨得，T₀=$\frac{πL}{{{2}^{n-1}v}_{0}}$   n=0、1、2、3、
答：（1）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{{3mv}_{0}}{qL}$，運(yùn)動(dòng)中的加速度大小為$\frac{{3v}_{0}^{2}}{L}$．
（2）若要使粒子恰能沿DC方向通過(guò)C點(diǎn)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{{{2}^{n}mv}_{0}^{2}}{{qv}_{0}L}$，變化的周期為$\frac{πL}{{{2}^{n-1}v}_{0}}$其中n=0、1、2、3、．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，重點(diǎn)就是運(yùn)動(dòng)分析，要著重掌握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，還有相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，做到能準(zhǔn)確找出原點(diǎn)，明確運(yùn)動(dòng)的軌跡