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7.某興趣小組舉行遙控賽車比賽,比賽路徑如圖所示,可視為質(zhì)點的賽車從起點A出發(fā),沿水平直線軌道運動L=10m后,由B點進(jìn)入半徑為R=0.4m的光滑豎直半圓軌道,并通過軌道的最高點C做平拋運動,落地后才算完成比賽.B是半圓軌道的最低點,水平直線軌道和半圓軌道相切于B點,已知賽車質(zhì)量m=0.5kg,通電后電動機(jī)以額定功率P=3W工作,賽車在水平軌道上受到的阻力恒為f=0.4N,g取10m/s2
(1)要使賽車能通過C點完成比賽,經(jīng)過B點的最小速度vm為多少?
(2)要使賽車完成比賽,電動機(jī)工作最短的時間tm為多少?
(3)若賽車過B點速度vB=8.0m/s,R為多少時賽車能完成比賽且落地點離B點的距離最大.

分析 (1)小車做圓周運動,在最高點重力提供向心力時速度最小,由牛頓第二定律可以求出最小速度,從B到C的過程中,根據(jù)動能定理列式即可求解.
(2)從A到C應(yīng)用動能定理可以求出電動機(jī)的工作時間.
(3)由B到C由機(jī)械能守恒定律或動能定理求出到C的速度,離開C后小車做平拋運動,由平拋運動知識求出小車水平位移的表達(dá)式,然后求出最大水平位移.

解答 解:(1)賽車以最小速度通過最高點C,其經(jīng)過B點的速度最小,
在最高點C由牛頓第二定律得:mg=mvC2R
解得:vC=gR=0.4×10=2m/s,
從B到C的過程中,根據(jù)動能定理得:
12mvC212mvm2=mg2R
解得:vm=25m/s
(2)設(shè)電動機(jī)工作的最短時間為t,賽車從A到C過程,由動能定理得:
PtfL2mgR=12mvC20
解得:t=3s
(3)設(shè)軌道半徑為R,從B到C過程根據(jù)動能定理得:
12mvC212mvB2=mg2R
解得:
vC=vB24Rg,
賽車離開C點后做平拋運動,設(shè)水平位移為x,
在水平方向:x=vCt,在豎直方向:2R=12gt2,
解得:x=vB24Rg4Rg=vB2g4R4R
當(dāng)vB2g4R=4R時,即R=0.80m時,最大水平位移為xm=3.2m;
答:(1)要使賽車能通過C點完成比賽,經(jīng)過B點的最小速度vm25m/s;
(2)要使賽車完成比賽,電動機(jī)工作的最短時間為3s.
(3)若賽車過B點速度vB=8.0m/s,R為0.8m時賽車能完成比賽,且落地點離B點的最大距離為3.2m.

點評 分析清楚小車的運動過程,應(yīng)用牛頓第二定律、動能定理、平拋運動知識即可正確解題.

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