Question

12．如圖所示．兩形狀完全相同的平板A．B置于光滑水平面上．質(zhì)量分別為m和2m，平板B的右端固定一輕質(zhì)彈簧，P點(diǎn)為彈簧的原長(zhǎng)位，P點(diǎn)到平板B左端點(diǎn)Q的距離為L(zhǎng)．物塊C置于平板A的最右端，質(zhì)量為m且可視為質(zhì)點(diǎn)，平板A，物塊C以相同速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，與靜止平板B發(fā)生碰撞，碰撞時(shí)間極短，碰撞后平板A、B粘連在一起，物塊C滑上平板B，運(yùn)動(dòng)至P點(diǎn)開始?jí)嚎s彈簧，后被彈回并相對(duì)于平板B靜止在其左端Q點(diǎn)．彈簧始終在彈性限度內(nèi)，平板B的P點(diǎn)右側(cè)部分為光滑面，P點(diǎn)左側(cè)部分為粗糙面，物塊C與平板B粗糙面部分之間的動(dòng)摩擦因數(shù)處處相同，重力加速度為g．求：
（1）彈簧被壓縮到最短時(shí)物塊C的速度大��；
（2）平板A，B在碰撞過程中損失的總動(dòng)能E_k損；
（3）物塊C第一次到P點(diǎn)時(shí)C和B的速度大小；
（4）求B的最大速度V_max．

Answer 1

分析 （1）彈簧壓縮至最短時(shí)，三物體的速度相等，對(duì)整體分析，根據(jù)動(dòng)量守恒定律可求得C的速度；
（2）對(duì)AB分析，根據(jù)動(dòng)量守恒求出碰后的速度，再由功能關(guān)系可求得損失的動(dòng)能；
（3）先對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的全過程分析，再對(duì)物體C第一次到P點(diǎn)過程分析，注意系統(tǒng)損失的機(jī)械能等于摩擦力與相對(duì)位移的乘積；根據(jù)能量關(guān)系及動(dòng)量守恒定律列式求解；
（4）對(duì)運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行分析，明確當(dāng)C再次回到P點(diǎn)時(shí)B的速度達(dá)最大，根據(jù)（3）中求出的結(jié)果可明確最大速度．

解答 解：（1）設(shè)向右為正方向，則對(duì)整體分析可知，當(dāng)彈簧壓縮至最短時(shí)，ABC三者速度相同，則由動(dòng)量守恒定律可知：
2mv₀=（2m+2m）v₁
解得：v₁=$\frac{{v}_{0}}{2}$
（2）對(duì)AB碰撞過程，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：mv₀=（m+2m） v₂
再由能量守恒可知，損失的總動(dòng)能為：E_K損=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$（m+2m）v₂²=$\frac{1}{3}$mv₀²
（3）設(shè)C停在Q點(diǎn)時(shí)A、B、C共同速度為v₃，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：2mv₀=4mv₃ 
解得：v₃=$\frac{{v}_{0}}{2}$
對(duì)A、B、C組成的系統(tǒng)，從A、B碰撞結(jié)束瞬時(shí)到C停在Q點(diǎn)的過程，
根據(jù)功能關(guān)系有：μmg（2L）=$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$（3m）v₂²-$\frac{1}{2}$（4m）v₃² 
當(dāng)?shù)谝淮蔚絇點(diǎn)時(shí)有：
2mv₀=mv_C+3mv_B
由功能關(guān)系知：
μmgL=$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{1}{2}$（3m）v₂²-$\frac{1}{2}$（3m）v_B²-$\frac{1}{2}$mv_C²
聯(lián)立解得，v_B=（$\frac{1}{2}$±$\frac{\sqrt{2}}{12}$）v₀；
其中（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{12}$）v₀是B返回P點(diǎn)時(shí)的速度；應(yīng)舍去；
此時(shí)C的速度v_C=$\frac{{v}_{0}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$v₀
（4）根據(jù)運(yùn)動(dòng)過程可知，當(dāng)再次回到P點(diǎn)時(shí)，B的速度達(dá)最大，
由以上可知，B的最大速度為：v_max=（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{12}$）v₀
答：（1）彈簧被壓縮到最短時(shí)物塊C的速度大小為$\frac{{v}_{0}}{2}$；
（2）平板A，B在碰撞過程中損失的總動(dòng)E_k損為$\frac{1}{3}$mv₀²
（3）物塊C第一次到P點(diǎn)時(shí)C和B的速度大小分別為$\frac{{v}_{0}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$v₀和（$\frac{1}{2}$±$\frac{\sqrt{2}}{12}$）v₀
（4）求B的最大速度V_max為（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{12}$）v₀

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)量守恒定律的應(yīng)用，要注意正確設(shè)定正方向，根據(jù)題意選擇研究對(duì)象，明確動(dòng)量守恒及功能關(guān)系的應(yīng)用即可正確求解；但此題過程稍復(fù)雜，對(duì)學(xué)生分析問題能力要求較高．