Question

如圖所示，有一柔軟鏈條全長(zhǎng)為L(zhǎng)=1.0m，質(zhì)量均勻分布，總質(zhì)量為M=2.0kg．整條鏈條均勻帶電，總帶電量Q=1.0×10^-6C，將鏈條放在離地足夠高的水平桌面上．僅在水平桌面的上方存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度E=2.0×10⁷V/m．若桌面與鏈條之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5（重力加速度取g=10m/s²）．試求：
（1）當(dāng)桌面下的鏈條多長(zhǎng)時(shí)，桌面下的鏈條所受到的重力恰好等于鏈條受到的滑動(dòng)摩擦力．
（2）鏈條從桌面上全部滑下所需的最小初動(dòng)能．

Answer 1

分析：（1）設(shè)桌面下的鏈條長(zhǎng)為x，鏈條質(zhì)量分布均勻，所以在桌面下的鏈條的質(zhì)量為

xM

L

，鏈條對(duì)桌子的壓力等于桌面上的鏈條的重力加上電場(chǎng)力，根據(jù)桌面邊緣部分的重力和阻力相等即可求解；
（2）當(dāng)鏈條下滑0.5 m后就會(huì)自動(dòng)下滑，此時(shí)速度正好為零時(shí)所需初動(dòng)能最小，根據(jù)動(dòng)能定理即可求解；

解答：解：（1）設(shè)桌面下的鏈條長(zhǎng)為x，鏈條質(zhì)量分布均勻，所以在桌面下的鏈條的質(zhì)量為

xM

L

，則有：

xM

L

g=μ

L-x

L

（Mg+QE），解得x=0.5 m；
（2）鏈條下滑0.5 m后就會(huì)自動(dòng)下滑，此時(shí)速度正好為零時(shí)所需初動(dòng)能最小，根據(jù)動(dòng)能定理有：

1

2

Mg×

L

4

-W_f=0-E_k0，
由于f和N成正比，N和鏈條下滑的長(zhǎng)度成正比，所以f是均勻變化的．
可以根據(jù)平均摩擦力來(lái)求W_f
W_f=

f1+f2

2

?

L

2

f₁是最初瞬間的摩擦力，即f_MAX，所以f₁=20N
f₂是下滑0.5m時(shí)的摩擦力，由第二問(wèn)得知，其大小等于半根鏈條的重力，f₂=10N
解得：E_k0=W_f-

MgL

8

=

f1+f2

8

×

L

2

-

MgL

8

=7.5-2.5J=5J．
答：（1）當(dāng)桌面下的鏈條0.5m時(shí)，桌面下的鏈條所受到的重力恰好等于鏈條受到的滑動(dòng)摩擦力；
（2）從桌面上滑下全部鏈條所需的最小初動(dòng)能為5J．

點(diǎn)評(píng)：解決本題要知道最大靜摩擦力約等于滑動(dòng)摩擦力，鏈條下滑一半后就會(huì)自動(dòng)下滑，難度適中．