Question

18．宇宙中兩顆相距較近的天體組成雙星系統(tǒng)，它們在相互之間的萬有引力作用下，以兩者連線上某點為圓心做勻速圓周運動．現(xiàn)已知兩者的質(zhì)量分別為m₁、m₂，二者相距為L，萬有引力常量為G，求：
（1）兩天體做勻速圓周運動的軌道半徑r₁、r₂；
（2）它們運動的周期T．

Answer 1

分析 （1）兩天體做圓周運動靠相互間的萬有引力提供向心力，角速度相等，結(jié)合牛頓第二定律求出半徑的大�。�
（2）結(jié)合萬有引力提供向心力求出運動的周期．

解答 解：（1）對m₁有：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}{r}_{1}{ω}^{2}$，
對m₂有：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{2}{r}_{2}{ω}^{2}$，
可知m₁r₁=m₂r₂，又r₁+r₂=L，
解得${r}_{1}=\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}L$，${r}_{2}=\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}L$．
（2）根據(jù)$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$．
答：（1）兩天體做勻速圓周運動的軌道半徑分別為$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}L$、$\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}L$．
（2）它們運動的周期為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{L}^{3}}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$．

點評 本題是雙星問題，與衛(wèi)星繞地球運動模型不同，兩顆星都繞同一圓心做勻速圓周運動，關(guān)鍵抓住條件：兩星角速度相同、向心力大小相等．