Question

4．為驗(yàn)證機(jī)械能守恒定律，同學(xué)們設(shè)計了如圖甲所示的裝置．裝有自動測距儀的木板ABCD水平放置，木板EFGH豎直固定在ABCD上，O₁O₂為其上的一條豎直線，曲線MN為圓心在O₁處半徑為L的四分之一圓周的圓弧，自O(shè)₁M起以10°圓心角為間隔畫有刻線．O₁處釘有可懸掛細(xì)線的小釘，用輕質(zhì)細(xì)線一端連接小球，另一端掛在小釘上，保持球心到O₁的距離為L．讓細(xì)線與豎直方向成θ角由靜止釋放小球，當(dāng)細(xì)線到達(dá)豎直方向時，有強(qiáng)激光束將線熔斷．小球落到水平板上時，測距儀自動顯示落點(diǎn)到0₂的距離 現(xiàn)測得O₁O₂=h，改變θ角釋放小球，測得相關(guān)數(shù)據(jù)記錄在表一中．

表一

θ/°	30	40	50	60	70	80	90
s/m	0.73	0.97	1.20	1.41	1.62	1.82	2.00

該同學(xué)作出s-θ圖象，發(fā)現(xiàn)其關(guān)系較復(fù)雜，無法直觀地看出是否滿足機(jī)械能守恒定律． 于是從機(jī)械能守恒定律推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)s²與cosθ成線性關(guān)系．
（1）他導(dǎo)出的理論表達(dá)式為s²=s²=4（hL-L²）-4（hL-L²）cosθ；
（2）他將表一數(shù)據(jù)重新整理，得到表二中的數(shù)據(jù)，請在坐標(biāo)紙中畫出其圖線．
表二：

θ/°	30	40	50	60	70	80	90
cosθ	0.87	0.77	0.64	0.50	0.34	0.17	0
s2/m2	0.53	0.94	1.44	1.99	2.62	3.31	4.00

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球擺到最低點(diǎn)的速度，結(jié)合平拋運(yùn)動的高度求出平拋運(yùn)動的時間，結(jié)合速度和時間求出水平位移，從而得出s²的表達(dá)式．
（2）結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)描點(diǎn)作圖．

解答 解：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：$mgL（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得v=$\sqrt{2gL（1-cosθ）}$，
根據(jù)$h-L=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2（h-L）}{g}}$，
則水平位移$s=vt=\sqrt{4L（h-L）（1-cosθ）}$．
則s²=4L（h-L）（1-cosθ）=4（hL-L²）-4（hL-L²）cosθ．
（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)描點(diǎn)作圖，如圖所示．
故答案為：（1）s²=4（hL-L²）-4（hL-L²）cosθ，（2）如圖所示．

點(diǎn)評 本題考查了平拋運(yùn)動的規(guī)律和機(jī)械能守恒得出s²-cosθ的表達(dá)式，通過s²-cosθ表達(dá)式可知，s²與cosθ成線性關(guān)系，所以作出的圖線一定是線性圖線，不能作成曲線．