Question

12．如圖所示，質(zhì)量為M、半徑為r的半圓形凹槽，挨著豎直墻壁放在光滑的水平面上．一質(zhì)量為m的光滑金屬球自凹槽頂端靜止滑下．重力加速度為g．求：
①金屬球在運(yùn)動(dòng)過程中上升的最大高度；
②凹槽在以后運(yùn)動(dòng)過程中達(dá)到的最大速度．

Answer 1

分析 ①根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出金屬球滑到底端時(shí)的速度，球從最低點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，墻壁對(duì)系統(tǒng)沒有彈力，M與m組成的系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒，當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到最大高度時(shí)，系統(tǒng)具有共同的速度，結(jié)合動(dòng)量守恒定律和系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律求出球上升的最大高度．
②系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，當(dāng)金屬球向右滑上凹槽后再返回到凹槽最低點(diǎn)時(shí)凹槽速度最大，根據(jù)動(dòng)量守恒定律計(jì)算最大速度的大小即可．

解答 解：設(shè)金屬球由靜止開始下落至圓弧最低點(diǎn)時(shí)的速度為v，由機(jī)械能守恒定律知：
mgr=$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：v₀=$\sqrt{2gr}$
金屬球向上運(yùn)動(dòng)的過程中，m與M組成的系統(tǒng)在水平方向的動(dòng)量守恒，選向右的方向?yàn)檎�，設(shè)v為小球滑互最高點(diǎn)時(shí)m與M的共同速度，根據(jù)動(dòng)量守恒可得：
mv₀=（M+m）v
此過程中系統(tǒng)機(jī)械能守恒，即：$\frac{1}{2}$mv₀²=mgh+-$\frac{1}{2}$（M+m）v²
解得m上升的最大高度為：h=$\frac{Mr}{M+m}$
②當(dāng)金屬球向右滑上凹槽后再返回到凹槽最低點(diǎn)時(shí)凹槽速度最大，設(shè)金屬球的速度為v₁，凹槽的速度為v₂，根據(jù)動(dòng)量守恒可得：
mv₀=Mv₂+mv₁
根據(jù)機(jī)械能守恒有：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²
聯(lián)立解得：v₂=$\frac{2m}{M+m}\sqrt{2gr}$
答：①金屬球在運(yùn)動(dòng)過程中上升的最大高度為$\frac{Mr}{M+m}$；
②凹槽在以后運(yùn)動(dòng)過程中達(dá)到的最大速度為$\frac{2m}{M+m}\sqrt{2gr}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律以及動(dòng)量定理的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，選擇合適的定理求解，難度適中．