Question

如圖所示，在游樂節(jié)目中，選手需借助懸掛在高處的繩飛越到水平的浮臺(tái)上．選手可視為質(zhì)量m=60kg的質(zhì)點(diǎn)，選手抓住繩由靜止開始擺動(dòng)，此時(shí)繩與豎直方向夾角α=53⁰，繩的懸掛點(diǎn)O距水面的高度為H=3m．不計(jì)空氣阻力和繩的質(zhì)量，浮臺(tái)露出水面的高度不計(jì)，水足夠深．g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6求：
（1）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)對(duì)繩的拉力F的大小
（2）若繩長(zhǎng)l=2m，選手?jǐn)[到最高點(diǎn)時(shí)松手落入水中．設(shè)水對(duì)選手的平均浮力F₁=800N，平均阻力F₂=700N，求選手落入水中的深度d
（3）若選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)松手，則繩長(zhǎng)l為多長(zhǎng)時(shí)，落點(diǎn)距岸邊最遠(yuǎn)？請(qǐng)通過推算進(jìn)行說明．

Answer 1

分析：（1）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)的過程中，繩子拉力不做功，只有重力做功，由機(jī)械能守恒求出選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)的速度v．由牛頓第二定律求出繩的拉力F的大小．
（2）若繩長(zhǎng)l=2m，選手?jǐn)[到最高點(diǎn)時(shí)離水面的高度為H-lcos53°，從選手開始下落到速度減為零的過程中，重力做正功，浮力和阻力做負(fù)功，對(duì)全過程運(yùn)用動(dòng)能定理求解選手落入水中的深度d．
（3）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)松手后做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得到落點(diǎn)離岸邊的距離與l的關(guān)系，由數(shù)學(xué)知識(shí)求解繩長(zhǎng)l為多長(zhǎng)時(shí)，落點(diǎn)距岸邊最遠(yuǎn)．

解答：解：
（1）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)的過程中，由機(jī)械能守恒得
         mgl（1-cosα）=

1

2

mv2              ①
            選手經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)  F-mg=m

v2

l

    ②
①②兩式聯(lián)立，解得：
        F=（3-2cosα）mg=1080N
（2）對(duì)選手開始下落到在水中速度為零整個(gè)過程進(jìn)行分析，重力、浮力和阻力分別做功，設(shè)進(jìn)入水的深度為d，由動(dòng)能定理有：
      mg（H-lcosα+d）-（F₁+F₂）d=0 代入數(shù)據(jù)解得：d=1.2m
（3）選手從最低點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)
水平方向上有：x=vt
豎直方向上有：H-l=

1

2

gt2
以上兩式聯(lián)立解得：x=2

l(1-cosα)(H-l)

=2

0.4l(H-l)

當(dāng)l=

H

2

時(shí)，x有最大值，解得l=1.5m．
答：（1）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)對(duì)繩的拉力F的大小是1080N；
        （2）選手落入水中的深度d為1.2m．
        （3）若選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)松手，繩長(zhǎng)l為1.5m時(shí)，落點(diǎn)距岸邊最遠(yuǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查綜合應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律和平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)的能力．第（3）問要根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求解極值．