Question

7．如圖所示，水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為E，場(chǎng)區(qū)寬度為L(zhǎng)，豎宜方向是夠長(zhǎng)．緊挨著電場(chǎng)的右側(cè)是垂直于紙面向外的兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，其磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小分別為2B₀和B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子（其重力不計(jì)），從電場(chǎng)的邊界上的a點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)電場(chǎng)加速后進(jìn)入磁場(chǎng)，經(jīng)過時(shí)間t_2B=$\frac{πm}{{6q{B_0}}}$穿過中間磁場(chǎng)，進(jìn)入右邊磁場(chǎng)后能按某一路徑再返回到電場(chǎng)的邊界MN上的某一點(diǎn)b，途中虛線為場(chǎng)區(qū)的分界面．求：
（1）中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d．
（2）粒子從a點(diǎn)到b點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間t_ab
（3）當(dāng)粒子笫n次返冋電場(chǎng)的MN邊界吋與出發(fā)點(diǎn)之間的距離．

Answer 1

分析 （1）對(duì)電場(chǎng)中直線加速過程運(yùn)用動(dòng)能定理列式，對(duì)第二場(chǎng)區(qū)運(yùn)用洛倫茲力提供向心力列式；
（2）先畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，然后根據(jù)對(duì)稱性并結(jié)合周期公式列式計(jì)算；
（3）計(jì)算出一次偏轉(zhuǎn)的側(cè)移量，然后根據(jù)重復(fù)性得到n次的側(cè)移量之和．

解答 解：（1）粒子a點(diǎn)出發(fā)，在電場(chǎng)中加速和磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，回到MN上的b點(diǎn)，軌跡如圖所示．
粒子在電場(chǎng)中加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：qEL=$\frac{1}{2}$mv²-0，解得：v=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$，
粒子在2B₀磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{2q{B}_{0}}$，
粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t_2B=$\frac{θ}{2π}$T=$\frac{θm}{2q{B}_{0}}$=$\frac{πm}{6q{B}_{0}}$，
粒子在中間磁場(chǎng)通過的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為θ=$\frac{π}{3}$=60°；
粒子在中間磁場(chǎng)通過的圓弧半徑為：r₁=$\frac{mv}{q•2{B}_{0}}$，
由幾何關(guān)系得：d=r₁sinθ，解得：d=$\frac{\sqrt{3}}{4{B}_{0}}$$\sqrt{\frac{2mEL}{q}}$；
（2）粒子在右邊的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)：其圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為β=60°，
粒子在右邊磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T′=$\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t_B=$\frac{β}{2π}$T′，t_B=$\frac{πm}{3q{B}_{0}}$，
粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)量定律得：qE•t_E=mv，解得：t_E=$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$；
結(jié)合對(duì)稱性：t_ab=2t_E+2t_B+2t_2B=2$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$+$\frac{πm}{q{B}_{0}}$；
（3）由軌跡圖可知：y=r₁-$\sqrt{{r}_{1}^{2}-2q2qc48^{2}}$=$\frac{{r}_{1}}{2}$，
S_ab=r₁cosθ+2y，解得：S_ab=$\frac{3{r}_{1}}{2}$=$\frac{3}{4{B}_{0}}$$\sqrt{\frac{2mEL}{q}}$，
再由周期性：S_n=nS_ab=$\frac{3n}{4{B}_{0}}$$\sqrt{\frac{2mEL}{q}}$；
答：（1）中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d為$\frac{\sqrt{3}}{4{B}_{0}}$$\sqrt{\frac{2mEL}{q}}$．
（2）粒子從a點(diǎn)到b點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間t_ab為2$\sqrt{\frac{2mL}{qE}}$+$\frac{πm}{q{B}_{0}}$．
（3）當(dāng)粒子笫n次返冋電場(chǎng)的MN邊界時(shí)與出發(fā)點(diǎn)之間的距離為$\frac{3n}{4{B}_{0}}$$\sqrt{\frac{2mEL}{q}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是將粒子的運(yùn)動(dòng)分為直線加速、偏轉(zhuǎn)一、偏轉(zhuǎn)二、偏轉(zhuǎn)三、直線減速過程，然后作出運(yùn)動(dòng)軌跡，然后根據(jù)周期公式、半徑公式并結(jié)合動(dòng)能定理列式計(jì)算．