Question

5．開普勒從1909～1919年發(fā)表了著名的開普勒行星三定律：
其中第三定律：所有行星的橢圓軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的平方的比值都相等．實踐證明，開普勒三定律也適用于人造地球衛(wèi)星的運動．
如果人造地球衛(wèi)星沿半徑為r的圓形軌道繞地球運動，當開動制動發(fā)動機后，衛(wèi)星速度降低并轉移到與地球相切的橢圓軌道，如圖所示，結合以上信息，問在這之后，衛(wèi)星經過多長時間著陸？（空氣阻力不計．地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，圓形軌道可作為橢圓軌道的一種特殊形式．）

Answer 1

分析 根據牛頓第二定律與向心力表達式，結合引力提供向心力，并由地表時，引力等于重力，及開普勒第三定律，即可求解．

解答 解：當衛(wèi)星在圓軌道上運動時，由牛頓第二定律有：$G\frac{Mm}{r^2}=mr{（\frac{2π}{T}）^2}$（r為軌道半徑）
在地面時，有：$mg=G\frac{Mm}{R^2}$（R為地球半徑）
衛(wèi)星由圓軌道轉移到橢圓軌道，設周期為T'，由開普勒第三定律，有：$\frac{r^3}{T^2}=\frac{{{{[\frac{（R+r）}{2}]}^3}}}{{{{T'}^2}}}$
衛(wèi)星落地時間$t=\frac{T'}{2}$
聯(lián)解以上各式，得：$t={\frac{{π[{\frac{{（{r+R}）}}{2}}]}}{{{{（{g{R^2}}）}^{\frac{1}{2}}}}}^{\frac{3}{2}}}$
答：在這之后，衛(wèi)星經過$\frac{π（\frac{r+R}{2}）^{\frac{3}{2}}}{（g{R}^{2}）^{\frac{1}{2}}}$時間著陸．

點評 考查萬有引為定律與開普勒第三定律的應用，掌握牛頓第二定律的內容，理解引力提供向心力與引力等于重力的兩種情況．