Question

11．“∟”形輕桿兩邊互相垂直、長度均為l，可繞過O點的水平軸在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，兩端各固定一個金屬小球A、B，其中A球質(zhì)量為m，帶負電，電量為q，B球的質(zhì)量為$\frac{2}{3}$m，B球開始不帶電，整個裝置處于豎直向下的勻強電場中，電場強度$E=\frac{mg}{2q}$．現(xiàn)將“∟”形桿從OB位于水平位置由靜止釋放：
（1）當“∟”形桿轉(zhuǎn)動的角速度達到最大時，OB桿轉(zhuǎn)過的角度為多少？
（2）若使小球B也帶上負電，仍將“∟”形桿從OB位于水平位置由靜止釋放，OB桿順時針轉(zhuǎn)過的最大角度為90°，則小球B帶的電量為多少？轉(zhuǎn)動過程系統(tǒng)電勢能的最大增加值為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)力矩平衡求得轉(zhuǎn)速最大時的角度；
（2）轉(zhuǎn)過最大角度時，動能為零，根據(jù)動能定理求得所帶的電荷量，根據(jù)能量守恒求得電勢能的最大增加值

解答 解：（1）轉(zhuǎn)速最大時，系統(tǒng)力矩平衡，有：
m_Aglsinθ=Eqlsinθ+m_Bglcosθ
解得：tanθ=$\frac{4}{3}$，θ=53°
（2）設(shè)B帶的電量為q'，轉(zhuǎn)過最大角度時，動能為零，由動能定理得：Eql+m_Bgl-m_Agl-E q'l=0
解得：q'=$\frac{1}{3}$q
當轉(zhuǎn)角為α?xí)r電，勢能的增加值等于兩球克服電場力的功，有：W=E q'lsinα-Eql（1-cosα）
整理得：W=$\frac{1}{2}$mgl$[\frac{\sqrt{10}}{3}sin（α+β）-1]$，式中：tanβ=3
當sin（α+β）=1時，克服電場力的功達到最大，為：W_m=$\frac{1}{2}$mgl$（\frac{\sqrt{10}}{3}-1）$
電勢能的最大增加值為：△E=W_m=$\frac{1}{2}$mgl$（\frac{\sqrt{10}}{3}-1）$
答：（1）當“∟”形桿轉(zhuǎn)動的角速度達到最大時，OB桿轉(zhuǎn)過的角度為53°
（2）若使小球B也帶上負電，仍將“∟”形桿從OB位于水平位置由靜止釋放，OB桿順時針轉(zhuǎn)過的最大角度為90°，則小球B帶的電量為$\frac{1}{3}q$，轉(zhuǎn)動過程系統(tǒng)電勢能的最大增加值為$\frac{1}{2}$mgl$（\frac{\sqrt{10}}{3}-1）$

點評 本題考查了電場強度等問題，應(yīng)用機械能守恒定律、能量守恒定律即可正確解題，本題的難點是數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用；另外本題也可以應(yīng)用杠桿平衡條件分析答題．