Question

13．一艘宇宙飛船飛近某一新發(fā)現(xiàn)的行星，并進(jìn)入靠近行星表面的圓形軌道繞行數(shù)圈后，著陸在該行星上，宇宙飛船中可供使用的測(cè)量?jī)x器有：
A．精確秒表一個(gè)
B．激光測(cè)距儀（可以精確測(cè)量距離）
C．彈靈敏電流表一個(gè)
D．天平一臺(tái)（附砝碼）
已知宇航員在繞行時(shí)和著陸后各做了一次測(cè)量，依據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，可求出該星球的半徑R及星球的質(zhì)量M．（已知引力常量為G）
（1）宇航員在繞行時(shí)選取A（填寫器材對(duì)應(yīng)的字母），測(cè)量出飛船繞行N圈所用時(shí)間t，從而計(jì)算出飛船繞行該行星周期T為$\frac{t}{N}$；
（2）宇航員在著陸后選取AB（填寫器材對(duì)應(yīng)的字母），測(cè)量出自由落體的高度h與時(shí)間t′．從而計(jì)算出該星球的表面的重力加速度g，其表達(dá)式為$g=\frac{2h}{t{′}_{\;}^{2}}$；
（3）宇航員利用以上數(shù)據(jù)可估算出行星的半徑R=$\frac{h{t}_{\;}^{2}}{2{π}_{\;}^{2}t{′}_{\;}^{2}{N}_{\;}^{2}}$，質(zhì)量M=$\frac{{h}_{\;}^{3}{t}_{\;}^{4}}{2{π}_{\;}^{4}Gt{′}_{\;}^{6}{N}_{\;}^{4}}$．（須用原始測(cè)量數(shù)據(jù)表示結(jié)果） 難度：0.52真題：2組卷：2查看解析下載試題籃．

Answer 1

分析 要測(cè)量行星的半徑和質(zhì)量，根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力和萬(wàn)有引力等于向心力，列式求解會(huì)發(fā)現(xiàn)需要測(cè)量出行星表面的重力加速度和行星表面衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)周期，從而需要選擇相應(yīng)器材．

解答 解：（1）宇航員在繞行時(shí)選取精確秒表一個(gè)測(cè)量出飛船繞行N圈所用時(shí)間t，從而計(jì)算出飛船繞行該行星周期T為$\frac{t}{N}$
（2）宇航員在著陸后選取精確秒表一個(gè)、激光測(cè)距儀，測(cè)量出自由落體的高度與時(shí)間t′從而計(jì)算出星球表面的重力加速度，根據(jù)$h=\frac{1}{2}gt{′}_{\;}^{2}$得$g=\frac{2h}{t{′}_{\;}^{2}}$
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$及$GM=g{R}_{\;}^{2}$
得$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}R}{g}}$
將（1）（2）問(wèn)的結(jié)果代入上式，化簡(jiǎn)得$R=\frac{h{t}_{\;}^{2}}{2{π}_{\;}^{2}t{′}_{\;}^{2}{N}_{\;}^{2}}$
星球質(zhì)量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$=$\frac{{h}_{\;}^{3}{t}_{\;}^{4}}{2{π}_{\;}^{4}Gt{′}_{\;}^{6}{N}_{\;}^{4}}$
故答案為：（1）A     $\frac{t}{N}$     （2）AB    自由落體的高度h與時(shí)間t′表面的重力加速度g           $g=\frac{2h}{t{′}_{\;}^{2}}$
（3）$\frac{h{t}_{\;}^{2}}{2{π}_{\;}^{2}t{′}_{\;}^{2}{N}_{\;}^{2}}$         $\frac{{h}_{\;}^{3}{t}_{\;}^{4}}{2{π}_{\;}^{4}Gt{′}_{\;}^{6}{N}_{\;}^{4}}$

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵先要弄清實(shí)驗(yàn)原理；萬(wàn)有引力等于重力，及萬(wàn)有引力等于向心力，再根據(jù)實(shí)驗(yàn)原理選擇器材，計(jì)算結(jié)果．