Question

10．如圖所示，在xoy平面內(nèi)有一直線l，其方程為y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x，在直線上方存在電場(chǎng)強(qiáng)度為E、方向垂直l向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，直線下方存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、所帶電荷量為+q的粒子（重力不計(jì)），在紙面內(nèi)從直線上某點(diǎn)M（在O點(diǎn)右方）以速度v=$\frac{E}{B}$射入磁場(chǎng)，已知運(yùn)動(dòng)方向與l夾角為θ=30°．求：
（1）粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距直線l的最遠(yuǎn)距離；
（2）M點(diǎn)距O點(diǎn)多遠(yuǎn)時(shí)粒子才能通過(guò)O點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中做類(lèi)斜上拋運(yùn)動(dòng)，分別求出粒子距離l的最大位移，然后比較，得出哪一個(gè)是最遠(yuǎn)距離；
（2）由于電場(chǎng)的方向與l垂直，粒子經(jīng)過(guò)l時(shí)，電場(chǎng)力對(duì)粒子做的功為0，所以每一次粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)與在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的軌跡是相似的，具有周期性，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中做類(lèi)斜上拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為R，則：
qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
得：$R=\frac{mv}{qB}=\frac{mE}{q{B}^{2}}$
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子距離l的最遠(yuǎn)距離設(shè)為d₁，則：
d₁=R-Rcos30°
所以：$jcjgdha_{1}=（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）\frac{m{E}^{2}}{q{B}^{2}}$
在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子距離l的最遠(yuǎn)距離設(shè)為d₂，則：
$xzowatb_{2}=\frac{（vsin30°）^{2}}{2a}$
又：qE=ma
聯(lián)立得：$kejcczp_{2}=\frac{mE}{8q{B}^{2}}＜tdfowgw_{1}$
所以，粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距直線l的最遠(yuǎn)距離是$（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）\frac{m{E}^{2}}{q{B}^{2}}$．
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由幾何關(guān)系得：
${l}_{MA}=R=\frac{mE}{q{B}^{2}}$
粒子第一次過(guò)l后受到垂直于l的電場(chǎng)力的作用，設(shè)粒子再次運(yùn)動(dòng)到l的時(shí)間為t，沿電場(chǎng)線的方向：$vsin30°=\frac{qE}{m}•t$
得：$t=\frac{mv}{qE}=\frac{m}{qB}$
垂直于電場(chǎng)線的方向：${l}_{AC}=v•cos30°•t=\frac{\sqrt{3}mE}{2q{B}^{2}}$
由運(yùn)動(dòng)的周期性可知，當(dāng)${l}_{MO}=n（\frac{mE}{q{B}^{2}}+\frac{\sqrt{3}mE}{2q{B}^{2}}）$（n=1、2、3…）或${l}_{MO}=n（\frac{mE}{q{B}^{2}}+\frac{\sqrt{3}mE}{2q{B}^{2}}）+\frac{mE}{q{B}^{2}}$（n=1、2、3…）時(shí)，粒子均能過(guò)O點(diǎn)．
答：（1）粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距直線l的最遠(yuǎn)距離是$（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）\frac{m{E}^{2}}{q{B}^{2}}$；
（2）當(dāng)${l}_{MO}=n（\frac{mE}{q{B}^{2}}+\frac{\sqrt{3}mE}{2q{B}^{2}}）$（n=1、2、3…）或${l}_{MO}=n（\frac{mE}{q{B}^{2}}+\frac{\sqrt{3}mE}{2q{B}^{2}}）+\frac{mE}{q{B}^{2}}$（n=1、2、3…）時(shí)，粒子均能過(guò)O點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，該題中由于電場(chǎng)的方向由于l垂直，粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是類(lèi)斜上拋運(yùn)動(dòng)，這是該題與其他的帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的題目明顯不一樣的地方，這是正確解題的關(guān)鍵．