Question

6．從中國(guó)航天科技集團(tuán)獲悉，2015年，我國(guó)計(jì)劃完成20次宇航發(fā)射，將超過(guò)40顆航天器送入太空，無(wú)論是發(fā)射航天器的次數(shù)還是數(shù)量，都將創(chuàng)下中國(guó)航天歷史新高．某同學(xué)設(shè)想將如下裝置放置于穩(wěn)定運(yùn)行的處于完全失重狀態(tài)下的宇宙飛船中，如圖所示，兩半徑均為R=0.2m的光滑半圓軌道 PM、QN在同一豎直面內(nèi)放置，M、N處于同一水平面上，兩半圓軌道剛好與水平面MN相切，圖中虛線(xiàn)方框內(nèi)有豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E，電場(chǎng)區(qū)域的水平寬度L_MF=0.2m．帶電荷量為+q、質(zhì)量為m=1kg的兩相同滑塊A、B固定于水平面上，它們不在電場(chǎng)區(qū)域，但A靠近F，他們之間夾有一壓縮的絕緣彈簧（不連接，彈簧的壓縮量不計(jì)），滑塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)u=0.5，．已知Eq=2N．
（1）如果彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E_P0=1J，求自由釋放A、B后B在Q點(diǎn)所受的彈力大��；
（2）如果釋放A、B后，要求兩者只能在MF間相碰，求彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E_P的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）研究彈簧釋放過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律求出A、B獲得的速度大�。瓸在Q點(diǎn)，由牛頓第二定律求出B在Q點(diǎn)所受的彈力大�。�
（2）釋放A、B后，兩者獲得的初速度大小相同，若A能通過(guò)電場(chǎng)，通過(guò)電場(chǎng)的最長(zhǎng)可能時(shí)間為 t_Am=$\frac{2{L}_{MF}}{v}$，B運(yùn)動(dòng)到M處需要的時(shí)間t_B＞$\frac{2πR}{v}$，即有t_Am＜t_B．若A、B只能在MF間相碰，則A一定在相碰前就停在MF間．對(duì)于A停在M點(diǎn)時(shí)和A停在MF中點(diǎn)時(shí)，運(yùn)用動(dòng)能定理求E_P的取值，從而得到E_P的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)A、B分離后獲得的速度大小分別為v₁、v₂，取向左方向?yàn)檎�方向，由系統(tǒng)動(dòng)量守恒有：
0=mv₁-mv₂
由機(jī)械能守恒有：E_P0=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²
解得：v₁=v₂=1m/s
由于完全失重，B在半圓軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，B在Q點(diǎn)，由牛頓第二定律有：
N=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$=5N
（2）由（1）可知，釋放A、B后，兩者獲得的初速度大小相同，設(shè)為V，若A能通過(guò)電場(chǎng)，通過(guò)電場(chǎng)的最長(zhǎng)可能時(shí)間為t_Am=$\frac{2{L}_{MF}}{v}$，B運(yùn)動(dòng)到M處需要的時(shí)間t_B＞2πR/v，有t_Am＜t_B．所以，若A、B只能在MF間相碰，則A一定在相碰前就停在MF間．由于A、B初速度大小相等，故兩者在電場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)的最大位移相等，要滿(mǎn)足在電場(chǎng)區(qū)域相碰，則A至少應(yīng)運(yùn)動(dòng)到MF的中點(diǎn)，至多運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)．
由能量守恒有：E_P=2×$\frac{1}{2}$mv²
A停在M點(diǎn)時(shí)，由動(dòng)能定理有：-μEqL_MF=0-$\frac{1}{2}$mv²
A停在MF中點(diǎn)時(shí)，由動(dòng)能定理有：-μEq$\frac{{L}_{MF}}{2}$=0-$\frac{1}{2}$mv²
兩種情況對(duì)應(yīng)的E_P分別為0.4J、0.2J
故0.2J＜E_P＜0.4J
答：（1）自由釋放A、B后B在Q點(diǎn)所受的彈力大小是5N．
（2）彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能E_P的取值范圍是0.2J＜E_P＜0.4J．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要分析清楚兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)情況，判斷能量的轉(zhuǎn)化情況，分析隱含的臨界條件．要注意在完全失重情況下，B在Q點(diǎn)，僅由彈力提供向心力，不能將重力加進(jìn)去．