Question

19．宇航員到某星球探險，已知駕駛的飛船繞此星球表面做勻速圓周運動時的周期為T，飛船降落到星球表面赤道后，測得從質量為的小球m在赤道上受到的重力為F，已知萬有引力常數(shù)為G，星球自轉的角速度為ω，則下列說法正確的是（　�。�

• A． 此星球的半徑R=$\frac{F{T}^{2}}{4m{π}^{2}-m{T}^{2}{ω}^{2}}$
• B． 此星球的平均密度ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• C． 星球自轉角速度ω若變大，小球m在赤道上受到的重力為F也將變大
• D． 飛船要返回近地軌道，至少使飛船在赤道上獲得$\frac{1}{2}$$\frac{m{ω}^{2}{F}^{2}{T}^{4}}{（4m{π}^{2}-m{T}^{2}{ω}^{2}）^{2}}$的能量

Answer 1

分析 飛船繞星球表面做勻速圓周運動，由星球的萬有引力提供向心力，考慮星球的自轉，萬有引力可分解為重力和向心力，再結合密度公式，聯(lián)立可求得半徑和星球的密度；星球的自轉的角速度變大，隨地自轉的向心力變大，重力會變�。桓鶕�(jù)能量守恒可以得出飛船要返回近地軌道需要的能量

解答 解：AB、由$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$和$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}-F=m{ω}_{\;}^{2}R$聯(lián)立得$R=\frac{F{T}_{\;}^{2}}{4m{π}_{\;}^{2}-m{T}_{\;}^{2}{ω}_{\;}^{2}}$，$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}=ρ\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$得  $ρ=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$，故AB正確；
CD、星球自轉角速度ω若變大，小球m在赤道上受到的重力為F將變小，飛船在地面上的動能$\frac{1}{2}m{ω}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}$，近地軌道上的動能為$G\frac{Mm}{2R}$，返回軌道需要的能量$G\frac{Mm}{2R}-\frac{1}{2}m{ω}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}$，故CD錯．
故選：AB

點評 本題主要考查萬有引力提供向心力這個關系，要注意向心力公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應用，考慮星球自轉的情況下，萬有引力可分解為向心力和重力．