Question

10．光滑斜面傾角θ=30°，在斜面上放置一矩形線框abcd，ab邊長(zhǎng)L₁=1m，bc邊長(zhǎng)L₂=0.6m，線框質(zhì)量m=1kg電阻R=0.1Ω．線框用細(xì)線通過(guò)定滑輪與重物相連，重物質(zhì)量M=2kg．斜面上ef線與gh線（ef∥gh∥pq）間有垂直斜面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁=0.5T．gh線與pq線間有垂直斜面向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=0.5T．如果線框從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ab邊進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng)，ab邊由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到gh線所用時(shí)間2.3s．求：
（1）ab邊剛經(jīng)過(guò)ef線瞬間線框的速度；
（2）ef線和gh線間距？
（3）ab邊由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到gh線這段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱？
（4）ab邊剛進(jìn)入gh線瞬間線框的加速度？

Answer 1

分析 （1）ab邊進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平衡條件和安培力表達(dá)式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，求出ab的速度．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出abcd進(jìn)磁場(chǎng)B₁前做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求出線框從靜止到進(jìn)入磁場(chǎng)B₁前和進(jìn)入磁場(chǎng)B₁過(guò)程的時(shí)間，由總時(shí)間得到完全進(jìn)入磁場(chǎng)后的時(shí)間，由運(yùn)動(dòng)學(xué)即可求出ef線和gh線間距．
（3）ab邊由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到gh線這段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生焦耳熱Q等于線框克服安培力做功．
（4）ab邊剛進(jìn)入gh線瞬間，線框中ab和dc兩邊都切割磁感線，各產(chǎn)生一個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度．

解答 解：（1）線框abcd受力平衡，有：T=mgsinθ+F_A，
ab邊進(jìn)入磁場(chǎng)切割磁感線，產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)為：E=Bl₁v₁，
形成的感應(yīng)電流為：I=$\frac{E}{R}=\frac{{B}_{1}{l}_{1}v}{R}$
受到的安培力為：F_A=B₁Il₁，
聯(lián)立得：Mg=$mgsinθ+\frac{{{B}_{1}}^{2}{{l}_{1}}^{2}v}{R}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v=6m/s．
（2）線框abcd進(jìn)入磁場(chǎng)B₁前時(shí)，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)磁場(chǎng)的過(guò)程中，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)后到運(yùn)動(dòng)到gh先，仍做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．
進(jìn)磁場(chǎng)前，對(duì)M：Mg-T=Ma，對(duì)m：T-mgsinθ=ma，
聯(lián)立解得：a=$\frac{Mg-mgsinθ}{M+m}=\frac{20-10×\frac{1}{2}}{2+1}m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$．
該階段運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t}_{1}=\frac{v}{a}=\frac{6}{5}s=1.2s$．
進(jìn)磁場(chǎng)B₁過(guò)程中，勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t}_{2}=\frac{{l}_{2}}{v}=\frac{0.6}{6}s=0.1s$，
進(jìn)磁場(chǎng)后線框受力情況同進(jìn)磁場(chǎng)前，所以該階段的加速度仍為a=5m/s²，
t₃=t-t₁-t₂=2.3-1.2-0.1s=1s，
ef線和gh線間的距離為：s=${l}_{2}+{v}_{1}{t}_{3}+\frac{1}{2}a{{t}_{3}}^{2}$=$0.6+6×1+\frac{1}{2}×5×{1}^{2}m=9.1m$．
此時(shí)線框的速度為：v₂=v₁+at₃=6+5×1m/s=11m/s．
（3）ab邊由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到gh線這段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱為：
Q=F_Al₂=（Mg-mgsinθ）l₂，
代入數(shù)據(jù)解得：Q=9J．
（4）ab邊剛進(jìn)入gh線瞬間線框的加速度沿斜面向下，有：
mgsinθ+$\frac{（{B}_{1}+{B}_{2}）^{2}{{l}_{1}}^{2}{v}_{2}}{R}-Mg$=（M+m）a₂，
代入數(shù)據(jù)解得：${a}_{2}=\frac{95}{3}m/{s}^{2}=31.67m/{s}^{2}$．
答：（1）ab邊剛經(jīng)過(guò)ef線瞬間線框的速度為6m/s；
（2）ef線和gh線間距為9.1m；
（3）ab邊由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到gh線這段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱為9J；
（4）ab邊剛進(jìn)入gh線瞬間線框的加速度為31.67m/s²．

點(diǎn)評(píng) 本題過(guò)程較多，但物理情景比較簡(jiǎn)單，是電磁感應(yīng)與力學(xué)基本知識(shí)的綜合，只要熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，就能正確求解．