Question

14．火星可視為半徑為r 的均勻球體，它的一個衛(wèi)星繞火星運行的圓軌道半徑為R，周期為T．求：
（1）火星的質(zhì)量．（萬有引力常量為G）
（2）火星表面的重力加速度．
（3）在火星表面離地h處以水平速度v₀拋出的物體，落地時速度多大．（不計火星空氣阻力）

Answer 1

分析 衛(wèi)星繞火星做圓周運動受到的萬有引力提供向心力，列出等式求出火星的質(zhì)量；
根據(jù)萬有引力等于重力求解火星表面的重力加速度．
根據(jù)動能定理求解落地時速度．

解答 解：（1）衛(wèi)星繞火星做圓周運動受到的萬有引力提供向心力，列出等式
G$\frac{mM}{{R}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得：M=$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$，
（2）根據(jù)火星表面萬有引力等于重力得
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mg
解得：g=$\frac{GM}{{r}^{2}}$=$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{{T}^{2}r}^{2}}$
（3）在火星表面離地h處以水平速度v₀拋出的物體，
根據(jù)動能定理得
mgh=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
解得：v=$\sqrt{2gh{+v}_{0}^{2}}$=$\sqrt{\frac{8h{{π}^{2}R}^{3}}{{{T}^{2}r}^{2}}{+v}_{0}^{2}}$

答：（1）火星的質(zhì)量是$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$；
（2）火星表面的重力加速度是$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{{T}^{2}r}^{2}}$．
（3）在火星表面離地h處以水平速度v₀拋出的物體，落地時速度是$\sqrt{\frac{8h{{π}^{2}R}^{3}}{{{T}^{2}r}^{2}}{+v}_{0}^{2}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能熟練運用．