Question

9．如圖1所示，兩根與水平面成θ=30°角的足夠長光滑金屬導(dǎo)軌平行放置，導(dǎo)軌間距為L=1m，導(dǎo)軌底端接有阻值為0.5Ω的電阻R，導(dǎo)軌的電阻忽略不計．整個裝置處于勻強(qiáng)磁場中，磁場方向垂直于導(dǎo)軌平面斜向上，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T．現(xiàn)有一質(zhì)量為m=0.2kg、電阻為0.5Ω的金屬棒用細(xì)繩通過光滑滑輪與質(zhì)量為M=0.5kg的物體相連，細(xì)繩與導(dǎo)軌平面平行．將金屬棒與M由靜止釋放，棒沿導(dǎo)軌運動了2m后開始做勻速運動．運動過程中，棒與導(dǎo)軌始終保持垂直接觸．（取重力加速度g=10m/s²）求：

（1）金屬棒勻速運動時的速度；
（2）棒從釋放到開始勻速運動的過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）若保持某一大小的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁不變，取不同質(zhì)量M的物塊拉動金屬棒，測出金屬棒相應(yīng)的做勻速運動的v值，得到實驗圖象如圖2所示，請根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)計算出此時的B₁；
（4）改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B₂，B₂=2B₁，其他條件不變，請在坐標(biāo)圖上畫出相應(yīng)的v-M圖線，并請說明圖線與M軸的交點的物理意義．

Answer 1

分析 （1）金屬棒勻速運動時，受力平衡，繩子的拉力大小等于Mg，由平衡條件和安培力公式F_A=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$求解速度．
（2）金屬棒上滑的過程中，M的重力勢能減小轉(zhuǎn)化為m的重力勢能、M和m的動能及電路中的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求解電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）由（1）中速度與質(zhì)量的關(guān)系式，分析圖象的斜率與截距的意義，求解B₁．
（4）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式作出圖象．

解答 解：（1）金屬棒做勻速運動，處于平衡狀態(tài)，
由平衡條件得：Mg=mgsinθ+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，
解得：v=4 m/s；
（2）對系統(tǒng)，由能量守恒定律得：
Mgs=mgssinθ+2Q+$\frac{1}{2}$（M+m）v²，
解得，Q=1.2J；
（3）對金屬桿，由平衡條件得：Mg=mgsinθ+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，
則v=$\frac{（Mg-mgsinθ）R}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$ M-$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$①，
由圖象可知：$\frac{gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{10}{0.3}$，解得：B₁=0.54T；
（4）由v=$\frac{gR}{{B}^{2}{L}^{2}}$ M-$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$可知，當(dāng)B₂=2B₁時，
圖線的斜率減小為原來的$\frac{1}{4}$，與M軸的交點不變，
與M軸的交點為M=msinθ，圖象如圖所示：

答：（1）金屬棒勻速運動時的速度為4m/s；
（2）棒從釋放到開始勻速運動的過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱是1.2J；
（3）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)計算出此時的B₁為0.54T；
（4）圖象如上圖所示．

點評 本題中根據(jù)物理規(guī)律得到解析式，再分析圖象的數(shù)學(xué)意義，采用數(shù)學(xué)上數(shù)形結(jié)合的方法．