Question

17．如圖所示，質(zhì)量為m，帶有擋板的光滑絕緣水平軌道靜止在水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，兩個(gè)帶電物體A和B由一絕緣細(xì)線相連并拉直，鎖定在軌道上，已知A、B的質(zhì)量均為m，帶電量分別為+2q和-q，勻強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E=$\frac{mg}{q}$，物體A距擋板的距離為h．現(xiàn)將AB鎖定解除，AB開始運(yùn)動(dòng)，若A與擋板碰撞后電量不發(fā)生變化，且碰后速度立即變?yōu)?，AB始終不會(huì)發(fā)生碰撞，不考慮AB之間庫侖力，軌道足夠長(zhǎng)．重力加速度為g，求：
（1）經(jīng)過多少時(shí)間，物體A與擋板第一次發(fā)生碰撞；
（2）第一次碰撞后，物體A距擋板的最遠(yuǎn)距離；
（3）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中物體A走過的總路程．

Answer 1

分析 （1）以A、B組成的整體為研究的對(duì)象，在向右運(yùn)動(dòng)的過程中，受到電場(chǎng)力的作用，由牛頓第二定律即可求出整體的加速度，然后由位移公式即可求出時(shí)間；
（2）由動(dòng)量守恒定律求出擋板的速度；分別以A與B為研究的對(duì)象，求出它們的加速度，以及位移相等時(shí)（細(xì)繩再次被拉緊時(shí)）的速度，然后由動(dòng)量守恒定律求出共同的速度，與擋板的速度比較，得出第一次碰撞后，物體A距擋板的最遠(yuǎn)距離所滿足的條件，最后再由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式得出最遠(yuǎn)距離；
（3）結(jié)合（1）與 （2）的分析，得出從開始運(yùn)動(dòng)，到A距擋板的最遠(yuǎn)的過程中A的總路程．

解答 解：（1）以A、B組成的整體為研究的對(duì)象，在向右運(yùn)動(dòng)的過程中，受到電場(chǎng)力的作用，由牛頓第二定律得：
（2qE-qE）=（m+m）a₁
又：E=$\frac{mg}{q}$
得：a₁=$\frac{1}{2}$g
物體A開始運(yùn)動(dòng)到與擋板第一次發(fā)生碰撞的過程中的位移是h，由位移公式：h=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$
得：t₁=$\sqrt{\frac{2h}{{a}_{1}}}=\sqrt{\frac{2h}{\frac{1}{2}g}}=2\sqrt{\frac{h}{g}}$
（2）第一次A與擋板碰撞時(shí)的速度：v₁=a₁t₁=$\frac{1}{2}g×2\sqrt{\frac{h}{g}}=\sqrt{gh}$
擋板位于光滑的水平面上，A與擋板碰撞的過程中滿足動(dòng)量守恒定律，選擇A運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎�方向，則：
mv₁+0=0+mv₂
所以碰撞后擋板的速度：v₂=v₁=$\sqrt{gh}$
碰撞后A的速度為0，而B的速度大小沒有來得及變化，所以碰撞后A將向右做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，而B做初速度為v₁的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，A、B之間的距離將先減小，當(dāng)二者的位移相等時(shí)，細(xì)繩再次被拉緊．
以B為研究對(duì)象，水平方向受到電場(chǎng)力的作用，qE=ma₂
得：a₂=$\frac{qE}{m}=\frac{mg}{m}$=g
以A為研究對(duì)象，水平方向受到電場(chǎng)力的作用，2qE=ma₃
得：a₃=$\frac{2qE}{m}=\frac{2mg}{m}$=2g
當(dāng)二者的位移相等時(shí)，滿足：v₁t₂-$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}=\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{2}^{2}$
整理得：t₂=$\frac{2}{3}$$\frac{{v}_{1}}{g}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{\frac{h}{g}}$．
此時(shí)A的速度：v₃=a₃t₂=2g×$\frac{2}{3}$$\sqrt{\frac{h}{g}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{gh}$
B的速度：v₄=v₁t₂-a₂t₂=-2$\sqrt{gh}$
細(xì)繩拉緊的瞬間A與B的動(dòng)量守恒，得：mv₃+mv₄=2mv₅
聯(lián)立以上方程，整理得：v₅=$\sqrt{gh}$
碰撞后A與B受到的合外力的方向向右，又將向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由于v₅=v₁，所以A與擋板之間的距離會(huì)減小．
綜合以上的分析可知，A與擋板碰撞后，當(dāng)A的速度與擋板的速度相等時(shí)，A與擋板之間的距離最大，此過程中使用的時(shí)間：
t₃=$\frac{{v}_{2}}{{a}_{3}}=\frac{\sqrt{gh}}{2g}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{h}{g}}$
此過程中A的位移：x₁=$\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{3}^{2}=\frac{1}{2}×2g×\frac{h}{4g}=\frac{1}{4}$h
軌道與擋板的位移：x₂=v₂•t₃=$\sqrt{gh}×\frac{1}{2}\sqrt{\frac{h}{g}}=\frac{1}{2}$h
二者之間的最大距離：△x=x₂-x₁=$\frac{1}{2}h-\frac{1}{4}h=\frac{1}{4}$h
（3）A與擋板碰撞前的擋板不動(dòng)，所以A的位移就等于h，碰撞后A的位移是$\frac{1}{4}$h，
所以整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中物體A走過的總路程：L=h+$\frac{1}{4}$h=1.25h
答：（1）經(jīng)過2$\sqrt{\frac{h}{g}}$時(shí)間，物體A與擋板第一次發(fā)生碰撞；
（2）第一次碰撞后，物體A距擋板的最遠(yuǎn)距離是$\frac{1}{4}$h；
（3）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中物體A走過的總路程是1.25h．

點(diǎn)評(píng) 該題將帶電物體在電場(chǎng)中的受力、運(yùn)動(dòng)和動(dòng)量守恒定律相結(jié)合，是一道多知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合的好題目．該題的難點(diǎn)在于判定A與擋板碰撞后的最遠(yuǎn)距離時(shí)，要判斷出是在A與B之間的細(xì)繩拉緊前，還是在A與B之間的細(xì)繩拉緊之后．