Question

【題目】當(dāng)溫度從低到高變化時(shí)，通常物質(zhì)會(huì)經(jīng)歷固體、液體和氣體三種狀態(tài)，當(dāng)溫度進(jìn)一步升高，氣體中的原子、分子將出現(xiàn)電離，形成電子、離子組成的體系，這種由大量帶電粒子（有時(shí)還有中性粒子）組成的體系便是等離子體．等離子體在宏觀上具有強(qiáng)烈保持電中性的趨勢(shì)，如果由于某種原因引起局部的電荷分離，就會(huì)產(chǎn)生等離子體振蕩現(xiàn)象．其原理如圖，考慮原來(lái)宏觀電中性的、厚度為的等離子體薄層，其中電子受到擾動(dòng)整體向上移動(dòng)一小段距離，這樣在上、下表面就可分別形成厚度均為的負(fù)、正電薄層，從而在中間宏觀電中性區(qū)域形成勻強(qiáng)電場(chǎng)，其方向已在圖中示出．設(shè)電子電量為、質(zhì)量為、數(shù)密度（即單位體積內(nèi)的電子數(shù)目）為；并設(shè)如下各問(wèn)中，電荷運(yùn)動(dòng)及電場(chǎng)變化所激發(fā)的磁場(chǎng)及磁相互作用均可忽略不計(jì)

（1）試求該勻強(qiáng)電場(chǎng)的大小．（可利用平行板電容器公式：，其中為真空介電常量，為電容器極板面積，為極板間距）

（2）假定此后電子保持整體運(yùn)動(dòng)，且其運(yùn)動(dòng)對(duì)正離子的反沖及其與正離子之間的碰撞均可忽略不計(jì)．試說(shuō)明這種整體運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求解振動(dòng)角頻率的表達(dá)式．（結(jié)果以參量、、、表述）

（3）在上圖原等離子體薄層所在區(qū)域及其周邊施加方向交變外電場(chǎng)，其中、為已知常量．忽略正離子的運(yùn)動(dòng)，但考慮因電子與正離子的碰撞所帶來(lái)的能量損耗，其效果可以等價(jià)為平均作用于每個(gè)電子上的線(xiàn)性速度阻尼力，其中為已知常量

①仍假定此后電子保持整體運(yùn)動(dòng)，且其穩(wěn)態(tài)振動(dòng)振幅，試求該振幅；

②將等離子體看作是一種電介質(zhì)，即將交變電場(chǎng)作用下等離子體內(nèi)部正、負(fù)電荷的相對(duì)移位看作是“極化”效應(yīng)，試求解如上交變電場(chǎng)中等離子體薄層對(duì)應(yīng)的復(fù)相對(duì)介電常量

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)① ②

【解析】

（1）設(shè)等離子體上下底面積為，則下表面電荷宏觀電量為’

勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小為．

（2）電子整體運(yùn)動(dòng)可由單個(gè)電子代表．處于題圖中宏觀電中性區(qū)域內(nèi)的自由電子受力為

其中也是該電子相對(duì)原平衡位置的位移，即該電子運(yùn)動(dòng)滿(mǎn)足．

因此，以該電子代表的整體運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率為．

（3）①取交變外電場(chǎng)復(fù)表述

則單電子穩(wěn)態(tài)振動(dòng)對(duì)應(yīng)的復(fù)表述為

， ①

其中為復(fù)振幅．

單電子穩(wěn)態(tài)振動(dòng)復(fù)表述滿(mǎn)足方程，

其中為(2)問(wèn)所求．上式可化為．

將①式代入得，

， ②

，．

②解法一：定義等離子體介質(zhì)的極化強(qiáng)度矢量為單位體積內(nèi)微觀電偶極矩的求和，則由題文可知，當(dāng)電子相對(duì)正離子整體移位時(shí)（為軸方向的單位向量），有

．

由（1）問(wèn)中結(jié)果，得其產(chǎn)生附加電場(chǎng)為．

對(duì)題文所述交變外電場(chǎng)作用下的極化機(jī)制，采用復(fù)表述并投影到軸方向，即得

，． ③

由線(xiàn)性極化規(guī)律有

其中為復(fù)電極化率．代入③式得，即．

代入②式得．

將代入，有，

解得,

故得復(fù)相對(duì)介電常量為，．

解法二：由總電場(chǎng)復(fù)表述

求解穩(wěn)態(tài)振動(dòng)復(fù)表述（仍設(shè)）方程

，，

，即，

得，．