Question

【題目】如圖所示，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心之間距離為L。已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線(xiàn)，A和B分別在O的兩側(cè)。引力常數(shù)為G。

（1）求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期；
（2）在地月系統(tǒng)中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B ， 月球繞其軌道中心運(yùn)行的周期記為T1。但在近似處理問(wèn)題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得的運(yùn)行周期記為T2。已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98×1024kg和7.35×1022kg。求T2與T1兩者平方之比。（結(jié)果保留三位小數(shù)）

Answer 1

【答案】
（1）

兩星球圍繞同一點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其角速度大小相同，周期也相同，其所需向心力由兩者間的萬(wàn)有引力提供，設(shè)A、B的軌道半徑分別為r2、r1，由牛頓第二定律得：

對(duì)于B有

對(duì)于A有

又r1＋r2＝L

聯(lián)立解得T＝2π

（2）

若認(rèn)為地球和月球都圍繞中心連線(xiàn)某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意可知M地＝5.98×1024kg，m月＝7.35×1022kg，地月距離設(shè)為L′，

由（1）可知其兩星球的運(yùn)行周期為

T1＝2π

若認(rèn)為月球圍繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律得

解得T2＝2π

故

【解析】解:（1）兩星球圍繞同一點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其角速度大小相同，周期也相同，其所需向心力由兩者間的萬(wàn)有引力提供，設(shè)A、B的軌道半徑分別為r2、r1 ， 由牛頓第二定律得：
對(duì)于B有
對(duì)于A有
又r1＋r2＝L
聯(lián)立解得T＝2π （2）若認(rèn)為地球和月球都圍繞中心連線(xiàn)某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意可知M地＝5.98×1024kg，m月＝7.35×1022kg，地月距離設(shè)為L′，
由（1）可知其兩星球的運(yùn)行周期為
T1＝2π
若認(rèn)為月球圍繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律得

解得T2＝2π
故

【考點(diǎn)精析】利用衛(wèi)星問(wèn)題多星系統(tǒng)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知所謂地球同步衛(wèi)星，是相對(duì)于地面靜止的，這種衛(wèi)星位于赤道上方某一高度的穩(wěn)定軌道上，且繞地球運(yùn)動(dòng)的周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期；同步衛(wèi)星的軌道一定在赤道平面內(nèi)，并且只有一條.所有同步衛(wèi)星都在這條軌道上，以大小相同的線(xiàn)速度，角速度和周期運(yùn)行著．