Question

20．如圖所示，繩長為I的輕繩一端連一小球，另一端固定在點，開始時輕繩拉直，0A在同一水平線上，小球在同一點由靜止釋放后在豎直面內(nèi)做圓周運動．求
（1）小球運動到最低點B時的速度大��；
（2）小球運動到最低點B時，繩子對小球的拉力大��；
（3）假設(shè)在O點正下方C處有一鐵釘，小球運動到最低點B時，繩子被鐵釘擋住，欲使小球繞鐵釘C能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運動，求0C距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理或機械能守恒求小球運動到最低點時的速度大小；
（2）小球在最低點時所受重力和繩的拉力合力提供向心力，由牛頓第二定律求解繩子對小球的拉力大��；
（3）根據(jù)小球運動到最高點的臨界條件由機械能守恒或動能定理求得小球圓周運動的半徑大小，再根據(jù)半徑大小確定OC距離的大�。�

解答 解：（1）小球從A到B的過程中，只有重力對小球做功，根據(jù)動能定理有：
$mgL=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-0$
可得小球到達B點時的速度大小${v}_{B}=\sqrt{2gL}$
（2）小球在最低點時，繩的拉力和重力的合力提供圓周運動的向心力有：
$T-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{L}$
可得$T=mg+m\frac{{v}_{B}^{2}}{L}=3mg$
（3）令小球碰到釘子后做圓周運動的半徑為R，則小球能通過最高點時重力恰好提供圓周運動向心力有：
mg=$m\frac{v{′}^{2}}{R}$
可得v$′=\sqrt{gR}$
小球從A開始到圓周運動最高點時只有重力對小球做功，根據(jù)動能定理有：
mg（L-2R）=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
代入$v′=\sqrt{gR}$可解得R=$\frac{2}{5}L$
所以O(shè)C間的最小距離為x=L-R=$\frac{3}{5}L$
答：（1）小球運動到最低點B時的速度大小為$\sqrt{2gL}$；
（2）小球運動到最低點B時，繩子對小球的拉力大小為3mg；
（3）假設(shè)在O點正下方C處有一鐵釘，小球運動到最低點B時，繩子被鐵釘擋住，欲使小球繞鐵釘C能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運動，0C距離的最小值為$\frac{3}{5}L$．

點評 小球在運動過程中只有重力做功，機械能守恒，應(yīng)用機械能守恒定律與牛頓第二定律即可正確解題；解題時要注意，小球恰好到達最高點時，重力提供向心力．