Question

8．如圖所示，曲線Ⅰ是繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星1的軌道示意圖，其半徑為R；曲線Ⅱ是繞地球做橢圓運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星2的軌道示意圖，O點(diǎn)為地球的地心，AB為橢圓的長(zhǎng)軸，兩軌道和地心都在同一平面內(nèi)，已知在兩軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的周期相等，萬(wàn)有引力常量為G，地球質(zhì)量為M，下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 橢圓軌道長(zhǎng)軸AB的長(zhǎng)度為R
• B． 在Ⅰ軌道的衛(wèi)星1的速率為v₀，在Ⅱ軌道的衛(wèi)星2通過(guò)B點(diǎn)的速率為v_B，v₀＜v_B
• C． 在Ⅰ軌道的衛(wèi)星1的加速度大小為a₀，在Ⅱ軌道的衛(wèi)星2通過(guò)A點(diǎn)的加速度大小為a_A，a₀＞a_A
• D． 若OA=0.5R，則衛(wèi)星在B點(diǎn)的速率v_B＜$\sqrt{\frac{2GM}{3R}}$

Answer 1

分析 根據(jù)開(kāi)普勒定律比較長(zhǎng)軸與R的關(guān)系，根據(jù)萬(wàn)有引力的大小，通過(guò)牛頓第二定律比較加速度，結(jié)合速度的大小比較向心加速度的大�。�

解答 解：A、根據(jù)開(kāi)普勒第三定律得$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=k，a為半長(zhǎng)軸，己知衛(wèi)星在兩軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的周期相等，所以橢圓軌道的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度為2R，故A錯(cuò)誤；
B、B點(diǎn)為橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)，速度比較小，v₀表示做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，v₀＞v_B．故B錯(cuò)誤；
C、根據(jù)牛頓第二定律得a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，衛(wèi)星在Ⅰ軌道距離地心的距離大于衛(wèi)星在Ⅱ軌道A點(diǎn)距離地心的距離，所以a₀＜a_A，故C錯(cuò)誤；
D、若OA=0.5R，則OB=1.5R，
人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，
$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
如果衛(wèi)星以O(shè)B為軌道半徑做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{2GM}{3R}}$，
在Ⅱ軌道上，衛(wèi)星在B點(diǎn)要減速，做近心運(yùn)動(dòng)，所以衛(wèi)星在B點(diǎn)的速率v_B＜$\sqrt{\frac{2GM}{3R}}$，故D正確；
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬(wàn)有引力定律、開(kāi)普勒第三定律、牛頓第二定律等知識(shí)，知道衛(wèi)星變軌的原理是解決本題的關(guān)鍵．