Question

18．如圖所示，AB段是長度為L=1m的粗糙水平軌道，BC段為一半徑R=10m的光滑圓弧軌道，兩軌道在B點(diǎn)平滑連接，C點(diǎn)離水平軌道的高度為h=0.1m，初始時質(zhì)量為m的物塊P（可視為質(zhì)點(diǎn)）靜止在A點(diǎn)，P與AB段軌道間的動摩擦因數(shù)為0.1，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．現(xiàn)將F=0.5mg的水平恒作用力作用在物體P上，物塊P運(yùn)動一段距離后撤去F，物塊P最終能進(jìn)入BC段光滑圓弧軌道而不脫軌，重力加速度取g=10m/²．
（1）水平恒力F作用的距離s的范圍；
（2）物塊P運(yùn)動的最長時間．

Answer 1

分析 （1）對全過程運(yùn)用動能定理，抓住末動能為零，求出F作用的最小距離，從而得出s的范圍．
（2）根據(jù)牛頓第二定律分別求出勻加速和勻減速運(yùn)動的加速度大小，結(jié)合運(yùn)動學(xué)公式求出勻加速和勻減速運(yùn)動的時間，結(jié)合單擺的周期公式求出BC段的運(yùn)動時間，從而得出物塊P運(yùn)動的最長時間．

解答 解：（1）對全過程運(yùn)用動能定理得：Fs-μmgL-mgh=0，
代入數(shù)據(jù)解得力F作用的最短距離為：s=0.4m，
可知恒力F作用的距離s≥0.4m．
（2）當(dāng)F作用的距離最短時，物塊P運(yùn)動的時間最長，物塊在F作用下的加速度為：
${a}_{1}=\frac{F-μmg}{m}=\frac{0.5mg-0.1mg}{m}=4m/{s}^{2}$，
撤去F后在水平面上的加速度大小為：${a}_{2}=μg=1m/{s}^{2}$，
則撤去F時的速度為：${v}_{1}=\sqrt{2{a}_{1}s}=\sqrt{2×4×0.4}$m/s≈1.79m/s，
則在F作用下的時間為：${t}_{1}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{1.79}{4}s≈0.45s$．
撤去F后，滑動B點(diǎn)的速度為：${v}_{B}=\sqrt{{{v}_{1}}^{2}-2{a}_{2}（L-s）}$=$\sqrt{3.2-2×1×0.6}$m/s=$\sqrt{2}$m/s≈1.41m/s，
則勻減速運(yùn)動的時間為：${t}_{2}=\frac{{v}_{1}-{v}_{B}}{{a}_{2}}=\frac{1.79-1.41}{1}s=0.38s$，
由于h＜＜R，物塊在BC段的運(yùn)動可以看成單擺的運(yùn)動，則運(yùn)動的時間為：${t}_{3}=\frac{1}{4}×2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$s=1.57s，
則物塊P運(yùn)動的最長時間為：t=t₁+t₂+t₃=0.45+0.38+1.57s=2.4s．
答：（1）水平恒力F作用的距離s的范圍為s≥0.4m；
（2）物塊P運(yùn)動的最長時間為2.4s．

點(diǎn)評 本題考查了動能定理、牛頓第二定律、運(yùn)動學(xué)公式的綜合運(yùn)用，理清物塊在整個過程中的運(yùn)動規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式綜合求解，難度中等．