Question

16．如圖所示，一個板長為L，板間距離也是L的平行板電容器上極板帶正電，下極板帶負電．有一對質量均為m，重力不計，帶電量分別為+q和-q的粒子從極板正中水平射入（忽略兩粒子間相互作用），初速度均為v₀．若-q粒子恰能從上極板邊緣飛出，求：
（1）兩極板間勻強電場的電場強度E的大��？
（2）-q粒子飛出極板時的速度v的大小與方向？
（3）若在極板右邊的空間里存在著垂直于紙面向里的勻強磁場，為使得+q粒子與-q粒子在磁場中對心正碰（碰撞時速度方向相反且共線），則磁感應強度B應為多少？

Answer 1

分析 （1）極板間電場的方向由正極板指向負極板，根據粒子在電場中的類平拋運動的水平位移和偏轉位移可求解電場強度的大小
（2）由動能定理可求粒子飛出電場的速度，飛出電場時速度的方向與初速度的方向間的夾角可用沿電場方向的分速度與初速度的比值來表示
（3）兩粒子進入磁場后將做勻速圓周運動，有運動的對稱性可知，兩粒子在磁場中運動半徑相同，對心正碰點必是初速度所在直線與圓周的交點，由幾何關系找到粒子運動的半徑，利用半徑公式可得磁感應強度的表達式．

解答 解：（1）由題意知，電場方向從上極板指向下極板
對于-q粒子，做類平拋運動的沿電場方向的加速度為：a=$\frac{Eq}{m}$…①
粒子在電場中運動時間，t=$\frac{L}{{v}_{0}}$…②
設粒子沿電場方向位移為y，由于恰從上極板邊緣射出，則有
y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{L}{2}$…③
由①②③得：
E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$…④
（2）-q粒子在電場中獲得沿電場方向的分速度為：
v₁=at…⑤
飛出電場時粒子的速度大�。簐=$\sqrt{{v}_{1}^{2}+{v}_{0}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀…⑥
v的方向與初速度方向的夾角為θ，則：
tanθ=$\frac{{v}_{1}}{{v}_{0}}$=1…⑦
所以，θ=45°…⑧
（3）粒子進入磁場后將做勻速圓周運動，有運動的對稱性可知，兩粒子在磁場中運動半徑相同，故對心正碰點必在初速度方向上，
由幾何關系可知，圓周運動半徑r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L…⑨
在磁場中運動時，洛倫茲力提供向心力，即：
qvB=$\frac{m{v}^{2}}{r}$…⑩
由⑥⑨⑩得，B=$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$
答：（1）電場方向由上向下，電場強度為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$；
（2）飛出電場時粒子的速度大小$\sqrt{2}$v₀，方向與初速度方向夾角45°；
（3）磁感應強度大小為$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$．

點評 帶電粒子在電場中運動分為加速和偏轉兩種類型，常運用動能定理和平拋運動規(guī)律求解，注意運算時要細心，而在勻強磁場中運動時，重要的是由運動徑跡利用幾何關系找到半徑的大小，由洛倫茲力提供向心力，利用牛頓第二定律求解即可．