Question

19．如圖所示，半徑為R，內徑很小的光滑半圓管豎直放置，整個裝置處在方向豎直向上的勻強電場中，兩個質量均為m、帶相同電量的正電小球a、b，以不同的速度進入管內（小球的直徑略小于半圓管的內徑，且忽略兩小球之間的相互作用），a通過最高點A時，對外管壁的壓力大小為3.5mg，b通過最高點A時，對內管壁的壓力大小0.25mg，已知兩小球所受電場力的大小為重力的一半．求：
（1）a、b兩球落地點距A點水平距離之比；
（2）a、b兩球落地時的動能之比．

Answer 1

分析 （1）對兩個球分別受力分析，根據合力提供向心力，求出速度，此后球做平拋運動，正交分解后，根據運動學公式列式求解即可求出兩球落地點距A點水平距離之比；
（2）從A到落地的過程中機械能守恒，由此求出落地時逗你的表達式，即可求出兩球落地時的動能之比．

解答 解：兩個小球在最高點時，受重力、電場力和管壁的作用力，這三個力的合力作為向心力，離開軌道后兩球均做類平拋運動；
對a球：3.5mg+mg+qE=m$\frac{{v}_{a}^{2}}{R}$，
其中：qE=0.5mg
解得：v_a=2$\sqrt{gR}$，
對B球：mg-0.25mg-qE=m$\frac{{v}_^{2}}{R}$，
解得：v_b=$\frac{1}{2}$$\sqrt{gR}$，
離開A點后豎直方向：ma=mg-qE
所以：a=0.5g
由平拋運動規(guī)律可得：
$2R=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
時間為：t=$\sqrt{\frac{8R}{g}}$，
落地時它們的水平位移為：s_a=v_at=$4\sqrt{2}R$
s_b=v_bt=$\sqrt{2}R$，
a、b兩球落地點間的距離之比：$\frac{{s}_{a}}{{s}_}=\frac{4\sqrt{2}R}{\sqrt{2}R}=\frac{4}{1}$
（2）兩個小球做類平拋運動，重力做正功，電場力做負功，由動能定理得：
對a球：$（mg-qE）•2R={E}_{ka}-\frac{1}{2}m{v}_{a}^{2}$
解得：E_ka=3mgR
對b球：$（mg-qE）•2R={E}_{kb}-\frac{1}{2}m{v}_^{2}$
解得：${E}_{kb}=\frac{9}{8}mgR$
所以：a、b兩球落地時的動能之比：$\frac{{E}_{ka}}{{E}_{kb}}=\frac{3mgR}{\frac{9}{8}mgR}=\frac{8}{3}$
答：（1）a、b兩球落地點距A點水平距離之比是4：1；
（2）a、b兩球落地時的動能之比是8：3．

點評 本題關鍵是對小球在最高點處時受力分析，然后根據向心力公式和牛頓第二定律求出平拋的初速度，最后根據平拋運動的分位移公式列式求解．