Question

6．在高能物理研究中，粒子加速器起著重要作用，而早期的加速器只能使帶電粒子在高壓電場中加速一次，因而粒子所能達(dá)到的能量受到高壓技術(shù)的限制．1930年，Earnest O．Lawrence提出了回旋加速器的理論，他設(shè)想用磁場使帶電粒子沿圓弧形軌道旋轉(zhuǎn)，多次反復(fù)地通過高頻加速電場，直至達(dá)到高能量．圖甲為Earnest O．Lawrence設(shè)計(jì)的回旋加速器的示意圖．它由兩個(gè)鋁制D型金屬扁盒組成，兩個(gè)D形盒正中間開有一條狹縫；兩個(gè)D型盒處在勻強(qiáng)磁場中并接有高頻交變電壓．圖乙為俯視圖，在D型盒上半面中心S處有一正離子源，它發(fā)出的正離子，經(jīng)狹縫電壓加速后，進(jìn)入D型盒中．在磁場力的作用下運(yùn)動(dòng)半周，再經(jīng)狹縫電壓加速；為保證粒子每次經(jīng)過狹縫都被加速，應(yīng)設(shè)法使交變電壓的周期與粒子在狹縫及磁場中運(yùn)動(dòng)的周期一致．如此周而復(fù)始，最后到達(dá)D型盒的邊緣，獲得最大速度后被束流提取裝置提取出．已知正離子的電荷量為q，質(zhì)量為m，加速時(shí)電極間電壓大小恒為U，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，D型盒的半徑為R，狹縫之間的距離為d．設(shè)正離子從離子源出發(fā)時(shí)的初速度為零．
（1）試計(jì)算上述正離子從離子源出發(fā)被第一次加速后進(jìn)入下半盒中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）盡管粒子在狹縫中每次加速的時(shí)間很短但也不可忽略．試計(jì)算上述正離子在某次加速過程當(dāng)中從離開離子源到被第n次加速結(jié)束時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間；
（3）不考慮相對論效應(yīng)，試分析要提高某一離子被半徑為R的回旋加速器加速后的最大動(dòng)能可采用的措施．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子被第一次加速后的速度，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，利用牛頓第二定律求出軌道的半徑．
（2）回旋加速器是利用電場加速和磁場偏轉(zhuǎn)來加速粒子，根據(jù)動(dòng)能定理求出n次加速后的速度，根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)間公式求出加速的時(shí)間，再求出粒子偏轉(zhuǎn)的次數(shù)，從而得出在磁場中偏轉(zhuǎn)的時(shí)間，兩個(gè)時(shí)間之和即為離開離子源到被第n次加速結(jié)束時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間．
（3）根據(jù)回旋加速器的半徑，利用洛倫茲力提供向心力，求出最大速度，看最大速度有什么因素決定．

解答 解：（1）設(shè)正離子經(jīng)過窄縫被第一次加速加速后的速度為v₁，由動(dòng)能定理得：$qU=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
正離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為r₁，由牛頓第二定律得：$Bq{v}_{1}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
由以上兩式解得：${r}_{1}=\sqrt{\frac{2mU}{q{B}^{2}}}$
（2）設(shè)正離子經(jīng)過窄縫被第n次加速加速后的速度為v_n，由動(dòng)能定理得：nqU=$\frac{1}{2}m{v}_{n}^{2}$
粒子在狹縫中經(jīng)n次加速的總時(shí)間為：t₁=$\frac{{v}_{n}}{a}$
由牛頓第二定律得：q$\frac{U}6111111$=ma
由以上三式解得電場對粒子加速的時(shí)間為：${t}_{1}=d\sqrt{\frac{2nm}{qU}}$ 
正離子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
又T=$\frac{2πr}{v}$ 
粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₂=（n-1）$\frac{T}{2}$
由以上三式解得：t₂=$\frac{（n-1）πm}{qB}$
所以，粒子從離開離子源到被第n次加速結(jié)束時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間為：
t=t₁+t₂=$d\sqrt{\frac{2nm}{qU}}$+$\frac{（n-1）πm}{qB}$
（3）設(shè)離子從D盒邊緣離開時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r_m，速度為：
v_mr_m=R
$Bq{v}_{m}=m\frac{{v}_{m}^{2}}{{r}_{m}}$
離子獲得的最大動(dòng)能為：
 $E=\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$=$\frac{{q}^{2}{B}^{2}{R}^{2}}{2m}$  
所以，要提高某一離子被半徑為R的回旋加速器加速后的最大動(dòng)能可以增大加速器中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B．
答：（1）上述正離子從離子源出發(fā)被第一次加速后進(jìn)入下半盒中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為$\sqrt{\frac{2mU}{q{B}^{2}}}$；
（2）上述正離子在某次加速過程當(dāng)中從離開離子源到被第n次加速結(jié)束時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間為$d\sqrt{\frac{2nm}{qU}}$+$\frac{（n-1）πm}{qB}$；
（3）要提高某一離子被半徑為R的回旋加速器加速后的最大動(dòng)能可以增大加速器中的磁感應(yīng)強(qiáng)度B．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵知道回旋加強(qiáng)器的工作原理，利用磁場偏轉(zhuǎn)，電場加速．以及知道回旋加強(qiáng)器加速粒子的最大動(dòng)能與什么因素有關(guān)．