Question

20.如圖1所示，A、B為水平放置的平行金屬板，板間距離為d（d遠(yuǎn)小于板的長(zhǎng)和寬）.在兩板之間有一帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)P.已知若在A、B間加電壓U₀，則質(zhì)點(diǎn)P可以靜止平衡.

圖1

            圖2

     現(xiàn)在A、B間加上如圖2所示的隨時(shí)間t變化的電壓U.在t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)P位于A、B間的中點(diǎn)處且初速度為0.已知質(zhì)點(diǎn)P能在A、B之間以最大的幅度上下運(yùn)動(dòng)而又不與兩板相碰，求圖2中U改變的各時(shí)刻t₁、t₂、t₃及t_n的表達(dá)式.（質(zhì)點(diǎn)開始從中點(diǎn)上升到最高點(diǎn)，及以后每次從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)或從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程中，電壓只改變一次）.

Answer 1

20. 設(shè)質(zhì)點(diǎn)P的質(zhì)量為m，電量大小為q，根據(jù)題意，當(dāng)A、B間的電壓為U₀時(shí)，有

q=mg　                                                            ①

當(dāng)兩板間的電壓為2U₀時(shí)，P的加速度向上，其大小為a，

q－mg=ma　                                                  ②

解得a=g

當(dāng)兩板間的電壓為0時(shí)，P自由下落，加速度為g，方向向下.

在t=0時(shí)，兩板間的電壓為2U₀，P自A、B間的中點(diǎn)向上做初速為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為g.經(jīng)過τ₁，P的速度變?yōu)?I>v₁，此時(shí)使電壓變?yōu)?，讓P在重力作用下做勻減速運(yùn)動(dòng).再經(jīng)過τ₁′，P正好到達(dá)A板且速度為0，故有

v₁=gτ₁　0=v₁－gτ₁′

d=gτ₁²+v₁τ₁′－gτ₁′²

由以上各式得τ₁=τ₁′　τ₁=

因?yàn)?I>t₁=τ₁

得t₁=　                                                    ③

在重力作用下，P由A板處向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過τ₂，速度變?yōu)?I>v₂，方向向下.這時(shí)加上電壓使P做勻減速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過τ₂′，P到達(dá)B板且速度為零，故有

v₂=gτ₂　0=v₂－gτ₂′

d=gτ₂²+v₂τ₂′－gτ₂′²

由以上各式得τ₂=τ₂′　τ₂=

因?yàn)?I>t₂=t₁+τ₁′+τ₂

得t₂=　                                           ④

在電力與重力的合力作用下，P由B板處向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過τ₃，速度變?yōu)?I>v₃，此時(shí)使電壓變?yōu)?，讓P在重力作用下做勻減速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過τ₃′，P正好到達(dá)A板且速度為0，故有

v₃=gτ₃　0=v₃－gτ₃′

d=gτ₃²+v₃τ₃′－gt₃′²

由上得τ₃=τ₃′　τ₃=

因?yàn)?I>t₃=t₂+τ₂′+τ₃　                                           ⑤

得t₃=

根據(jù)上面分析，因重力作用，P由A板向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過τ₂，再加上電壓，經(jīng)過τ₂′，P到達(dá)B且速度為0，

因?yàn)?I>t₄=t₃+τ₃′+τ₂

得t₄=

同樣分析可得

t_n=（+2n－3）（n≥2）　                          ⑥