Question

5．2016年10月17日7時(shí)49分，神舟十一號(hào)飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空后準(zhǔn)確進(jìn)入預(yù)定軌道，并于北京時(shí)間19日凌晨3點(diǎn)半左右與天宮二號(hào)成功實(shí)施自動(dòng)交會(huì)對(duì)接．如圖所示，已知“神舟十一號(hào)”從捕獲“天宮二號(hào)”到實(shí)現(xiàn)對(duì)接用時(shí)為t，這段時(shí)間內(nèi)組合體繞地球轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ（此過(guò)程軌道不變，速度大小不變）．地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，引力常量為G，不考慮地球自轉(zhuǎn)，求組合體運(yùn)動(dòng)的周期T及所在圓軌道離地高度H．

Answer 1

分析 在地球表面物體受到的重力等于萬(wàn)有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，由此可求出地球質(zhì)量，t時(shí)間內(nèi)組合體繞地球轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ，結(jié)合角速度得定義式求出ω，然后求出周期，萬(wàn)有引力提供向心力，可以解得組合體離地面的高度；

解答 解：設(shè)地球質(zhì)量為M，組合體角速度為ω，依題意，地球表面處萬(wàn)有引力等于重力，有：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$…①
$ω=\frac{2π}{T}$…②
θ=ωt…③
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{（R+H）_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}（R+H）$…④
聯(lián)立解得：
$T=\frac{2πt}{θ}$…⑤
$H=\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}{{θ}_{\;}^{2}}}-R$…⑥
答：組合體運(yùn)動(dòng)的周期T為$\frac{2πt}{θ}$及所在圓軌道離地高度H為$\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}{{θ}_{\;}^{2}}}-R$

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是要掌握萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}r$和在地球表面物體的重力等于萬(wàn)有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$這兩個(gè)關(guān)系，并且要能夠根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧�公式�?/p>