Question

5．某游樂場的游戲項目可簡化為如圖所示模型，質(zhì)量為m=2kg的物塊用一根長l=12.8m的輕繩懸掛于O點，并拉至水平位置由靜止釋放，運動至最低點時輕繩剛好被拉斷，并無機械能損失的滑上速度恒為v₀=10m/s 順時針轉(zhuǎn)動的水平傳送帶，已知傳送帶長度L=24m、與物塊間的摩擦因素μ₁=0.4．物塊運動至傳送帶右端后通過光滑平面滑上與平臺等高的靜止小車上，小車所在的水平面光滑，右側(cè)正對小車有一彈簧勁度系數(shù)k=500N/m 輕質(zhì)彈簧固定于在豎直墻上，彈簧自由端與小車右端距離為x_車（未知），當(dāng)小車剛與彈簧接觸時，物塊恰好滑至車的最右端并與車同速．已知小車的質(zhì)量M=8kg，物塊與小車間的摩擦因素μ₂=0.8，取g=10m/s²，求：
（1）輕繩能承受的最大拉力；
（2）物塊剛滑至小車最右端時的速度、小車剛與彈簧接觸時的位移x_車以及與因摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能；
（3）小車接觸彈簧后與物塊一起減速向右運動，當(dāng)彈簧壓縮量為多少時，物塊將與小車發(fā)生相對滑動．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機械能守恒定律求出物塊擺到最低點時的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出繩子承受的拉力，即為輕繩能承受的最大拉力．
（2）假設(shè)物塊滑上傳送帶后一直減速，根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式結(jié)合，可求得物塊的末速度，從而分析物塊在傳送帶上的運動時間，確定出物塊剛滑至小車最右端時的速度．再由牛頓第二定律求物塊滑上小車后物塊和小車的加速度，并由速度公式得到共速時所經(jīng)歷的時間，即可求得兩者的相對位移，從而求得摩擦生熱．
（3）接觸彈簧之后，物塊與車一起減速，當(dāng)車的加速度大于物塊的加速度時發(fā)生相對滑動，物塊向右滑離小車，由此列式求解．

解答 解：（1）物塊下擺過程中，由機械能守恒得：
$mgl=\frac{1}{2}m{v_1}^2$
代入數(shù)據(jù)解得v₁=16m/s
在最低點，由牛頓第二定律有：
 ${F_{max}}-mg=\frac{mv_1^2}{l}$
代入數(shù)據(jù)解得：F_max=60N
（2）假設(shè)物塊滑上傳送帶后一直減速，設(shè)末速為v₂，由牛頓第二定律有：
-μ₁mg=ma₁
代入數(shù)據(jù)解得：${a_1}=-4m/{s^2}$
由 $v_2^2-v_1^2=2{a_1}L$，解得v₂=8m/s＜v₀，可知物塊在傳送帶上先減速，和傳送帶共速后勻速到小車上．
因此到達(dá)傳送帶右端時速度 v₃=10m/s
物塊以v₃的速度滑上小車，之后，小車加速，物塊減速，設(shè)t時間后達(dá)到同速v_同，由牛頓第二定律有：
對物塊：-μ₁mg=ma₂
對小車：μ₂mg=Ma₃
根據(jù)速度相等得 v₃+a₂t=a₃t
代入數(shù)據(jù)解得：t=1s，v_同=2m/s
物塊發(fā)生位移：${x_物}=\frac{v_同}{2}t$=6m
小車發(fā)生位移：${x_車}=\frac{{{v_3}+{v_同}}}{2}t$=1m
相對位移△x=5m，Q=μ₂mg△x=80J
（3）接觸彈簧之后，物塊與車一起減速，當(dāng)車的加速度大于物塊的加速度時發(fā)生相對滑動，物塊向右滑離小車，即：
 $\frac{{F-{μ_2}mg}}{M}＞\frac{{{μ_2}mg}}{m}$
代入數(shù)據(jù)解得：F＞80N
由F=kx₀有：${x_0}=\frac{F}{k}=0.1m$
答：
（1）輕繩能承受的最大拉力是60N；
（2）物塊剛滑至小車最右端時的速度是10m/s、小車剛與彈簧接觸時的位移x_車是1m，與因摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能是80J；
（3）小車接觸彈簧后與物塊一起減速向右運動，當(dāng)彈簧壓縮量為0.1m時，物塊將與小車發(fā)生相對滑動．

點評 本題的物理過程比較復(fù)雜，按時間順序分析物塊的運動情況，抓住每個過程遵守的物理規(guī)律是關(guān)鍵．物塊在傳送帶上運動的過程，要通過牛頓第二定律和運動學(xué)公式結(jié)合分析有無勻速運動．