Question

15．如圖所示，電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)滾輪作逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，在滾輪的摩擦力作用下，將一金屬板從斜面底端A靜止送往上部，已知斜面光滑且足夠長，傾角θ=30°．滾輪與金屬板的切點(diǎn)B到斜面底端A的距離為L=9.0m，當(dāng)金屬板的下端運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)B處時(shí)，立即提起滾輪使它與板脫離接觸．當(dāng)金屬板速度減為0時(shí)，將金屬板取走．已知板的質(zhì)量為m=1×10³kg，滾輪角速度恒為ω=4rad/s，半徑R=1m，滾輪對(duì)板的正壓力F_N=2×10⁴N，滾輪與板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.35，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）金屬板從運(yùn)動(dòng)到速度減為0所需時(shí)間t
（2）要提高傳送效率，縮短時(shí)間t，在其他條件不變的情況下，傳送帶的角速度ω至少為多少．

Answer 1

分析 （1）對(duì)金屬板受力分析，運(yùn)用正交分解法，根據(jù)牛頓第二定律列方程即可求出加速度．假設(shè)金屬板一直勻加速上升，求出位移可知還要?jiǎng)蛩偕仙�，所以金屬板從A到B經(jīng)歷加速上升和勻速上升兩個(gè)過程，分別求出兩個(gè)過程的時(shí)間．金屬從B點(diǎn)向上做勻減速運(yùn)動(dòng)，先根據(jù)牛頓第二定律求出勻減速的加速度，求出減速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，最后求出總時(shí)間．
（2）結(jié)合（1）的解答，分析傳送帶的角速度．

解答 解：（1）對(duì)金屬板受力分析如右圖所示．運(yùn)用正交分解法，在x方向上根據(jù)牛頓第二定律得：
μF_N-mgsinθ=ma₁
代入數(shù)據(jù)解得：a=2m/s²
滾輪邊緣的線速度為：v=ωr=4×1=4m/s
由根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)的速度公式有：
v₀=at₁
解得：t₁=2s
由平均速度公式得，勻加速上升位移為：$x=\frac{v_0}{2}×{t_1}=4m$
根據(jù)勻速運(yùn)動(dòng)可知，勻速上升需要的時(shí)間為：${t}_{2}=\frac{L-x}{{v}_{0}}=\frac{9.0-4}{4}s=1.25s$
金屬板到達(dá)B點(diǎn)后做減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有：mgsinθ=ma₂
解得：${a_2}=5m/{s^2}$
金屬板做勻減速運(yùn)動(dòng)，則有：${t}_{3}=\frac{{v}_{0}}{{a}_{2}}=\frac{4}{5}=0.8s$
共經(jīng)歷的時(shí)間為：t=t₁+t₂+t₃=2+1.25+0.8=4.05s
（2）根據(jù)（1）的解答過程可知，金屬板向上運(yùn)動(dòng)的過程是先加速再勻速，最后減速，若要減少時(shí)間，則需要增大滾輪的轉(zhuǎn)速，讓金屬板一直加速到B的時(shí)間最短，此時(shí)有：${（{ω_2}R）^2}=2{a_1}L$
代入數(shù)據(jù)得：ω₂=6rad/s
答：（1）金屬板從運(yùn)動(dòng)到速度減為0所需時(shí)間是4.05s；
（2）要提高傳送效率，縮短時(shí)間t，在其他條件不變的情況下，傳送帶的角速度ω至少為6rad/s．

點(diǎn)評(píng) 此題是一道典型的動(dòng)力學(xué)問題，要求能夠?qū)�金屬板進(jìn)行正確的受力分析，知道輪對(duì)金屬板的摩擦力f是動(dòng)力，會(huì)根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解運(yùn)動(dòng)學(xué)參量．此題屬于中檔題．