Question

16．當一個較為復雜的物理過程在某一方面的特征與一個簡單的物理過程特征相同時，我們可以通過研究簡單物理過程的規(guī)律了解復雜的物理過程．如對平拋運動的研究可以轉化為研究豎直方向和水平方向的直線運動．

（1）小球在豎直面內做勻速圓周運動，則小球在水平地面上形成投影的運動是簡諧運動，這是可以證明的結論．設小球的質量為m，角速度為ω，半徑為A，從開始計時經時間t小球位置如圖1所示．
a．取過圓心O水平向右為x軸，則小球的位移在x軸方向上的分量可表示為x=Asinωt．以此為例，寫出小球在x軸方向的速度v_x、加速度a_x及合外力F_x隨時間t的變化關系．
b．物體做簡諧運動時，回復力應該滿足F=-kx．則反映該投影是簡諧運動中的k值是多少？
（2）如圖2所示，光滑的平行金屬導軌水平放置，導軌間距為L，左端接一阻值為R的定值電阻；導軌處在磁感應強度為B的勻強磁場中，磁場方向與導軌平面垂直．一根與導軌垂直的銅棒在導軌上做振幅為A的簡諧運動，振動周期為T．已知銅棒電阻為r，導軌的電阻不計．
a．在圖3中畫出通過電阻R的電流i隨時間t變化的圖象．
b．求在一個周期T內，電阻R產生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）a、根據線速度v=ωA，向心加速度a=ω²A，合外力F=mω²A求解在x軸方向的速度v_x、加速度a_x及合外力F_x隨時間t的變化關系；
b、根據小球在x軸方向上為簡諧運動的回復力計算公式求解k的值；
（2）a、流過R的電流是正（余）弦交流電，由此作圖；
b、求解電流的有效值，根據焦耳定律進行解答．

解答 解：（1）a．對勻速圓周運動，線速度v=ωA，向心加速度a=ω²A，合外力F=mω²A．
在x軸方向上，有：
v_x=ωAcosωt，
${a}_{x}=-{ω}^{2}Asinωt$，
F_x=-mω²Asinωt，
b．小球在x軸方向上為簡諧運動，故F_x=-kx
所以k=mω²
（2）a．流過R的電流是正（余）弦交流電．

b．將導體棒的運動看作是勻速圓周運動的分運動，可得導體棒切割磁感線的最大速度${v}_{m}=\frac{2πA}{T}$，
由 E_m=BLv_m可得：${I}_{m}=\frac{{E}_{m}}{R+r}=\frac{BL{v}_{m}}{R+r}$，
電流強度有效值：I=$\frac{{I}_{m}}{\sqrt{2}}$，
根據焦耳定律可得：Q=I²RT，
聯(lián)立以上各式，得Q=$\frac{2{π}^{2}{A}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{T（R+r）^{2}}R$．
答：（1）a．小球在x軸方向的速度v_x=ωAcosωt、加速度${a}_{x}=-{ω}^{2}Asinωt$、合外力F_x=-mω²Asinωt．
b．物體做簡諧運動時，回復力應該滿足F=-kx．則反映該投影是簡諧運動中的k值是mω²；
（2）a．電流i隨時間t變化的圖象見解析圖．
b．在一個周期T內，電阻R產生的焦耳熱為$\frac{2{π}^{2}{A}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{T{（R+r）}^{2}}R$．

點評 對于電磁感應問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點是分析安培力作用下導體棒的平衡問題，根據平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應現(xiàn)象中的能量轉化問題，根據動能定理、功能關系等列方程求解；解答本題要能夠根據線速度與角速度的關系、加速度速度與角速度的關系得到線速度和加速度的表達式．