Question

3．已知某行星半徑為R，萬有引力常量為G，以其第一宇宙速度運行的衛(wèi)星繞行星的周期為T，該行星的同步衛(wèi)星運行速度為V，求：
①該行星的質量是多少？
②求該行星的自轉周期？

Answer 1

分析 ①萬有引力提供向心力，由萬有引力公式與牛頓第二定律可以求出行星質量；
②萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出同步衛(wèi)星的周期，然后求出行星的周期．

解答 解：萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運動的向心力；①由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，
解得，行星的質量：M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
②對同步衛(wèi)星，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm′}{{r}^{2}}$=m′$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}{v}^{2}}$，
衛(wèi)星的周期：T′=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{8{π}^{3}{R}^{3}}{{T}^{2}{v}^{3}}$；
答：①該行星的質量是$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
②求該行星的自轉周期是$\frac{8{π}^{3}{R}^{3}}{{T}^{2}{v}^{3}}$．

點評 同步衛(wèi)星的周期與行星的周期相同，應用萬有引力公式與牛頓第二定律可以解題，要掌握萬有引力定律應用的基本解題思路．