Question

（18分）如圖在xoy平面內(nèi)有平行于x軸的兩個(gè)足夠大的熒光屏M、N，它們的位置分別滿足y=l和y=0，兩屏之間為真空區(qū)域。在坐標(biāo)原點(diǎn)O有一放射源不斷沿y軸正方向向真空區(qū)域內(nèi)發(fā)射帶電粒子，已知帶電粒子有兩種。為探索兩種粒子的具體情況，我們可以在真空區(qū)域內(nèi)控制一個(gè)勻強(qiáng)電場和一個(gè)勻強(qiáng)磁場，電場的場強(qiáng)為E，方向與x軸平行，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于xoy平面。
試驗(yàn)結(jié)果如下：如果讓電場和磁場同時(shí)存在，我們發(fā)現(xiàn)粒子束完全沒有偏轉(zhuǎn)，僅在M屏上有一個(gè)亮點(diǎn)，其位置在S（ 0 , l ）；如果只讓磁場存在，我們發(fā)現(xiàn)僅在N屏上出現(xiàn)了兩個(gè)亮點(diǎn)，位置分別為P（ -2l ， 0 ）、Q（ ，0 ），由此我們可以將兩種粒子分別叫做P粒子和Q粒子。已知粒子間的相互作用和粒子重力可以忽略不計(jì)，試求（坐標(biāo)結(jié)果只能用l表達(dá)）：

（1）如果只讓磁場存在，但將磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度減為B₁= ，請(qǐng)計(jì)算熒光屏上出現(xiàn)的所有亮點(diǎn)的位置坐標(biāo)；
（2）如果只讓電場存在，請(qǐng)計(jì)算熒光屏上出現(xiàn)的所有亮點(diǎn)的位置坐標(biāo)；
（3）如果只讓磁場存在，當(dāng)將磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度變?yōu)锽₂= kB時(shí)，兩種粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，求k的數(shù)值。

Answer 1

（1）P粒子亮點(diǎn)位置（，l ）  Q粒子仍打在N屏上，易得亮點(diǎn)位置（l，0）
（2）（，l）、（-2l，l） （3）

試題分析：（1）當(dāng)磁場B和電場E同時(shí)存在時(shí)，兩種粒子都受力平衡，都滿足
Eq=Bqv
所以兩種粒子速度相同都為v=                 ①（2分）
當(dāng)僅存在磁場時(shí)，帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力充當(dāng)向心力，兩種粒子都滿足
得               ②（2分）
當(dāng)磁場強(qiáng)度為B時(shí)，
P粒子的軌道半徑r₁=l，Q粒子軌道半徑為r₂=            ③
由②可知當(dāng)磁場為B₁減半時(shí)，兩粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑都加倍，此時(shí) r₁′=2l，r₂′=
此時(shí)P粒子將打在M屏上，由幾何關(guān)系可求出落點(diǎn)橫坐標(biāo)

所以P粒子亮點(diǎn)位置（，l ）                （1分）
而Q粒子仍打在N屏上，易得亮點(diǎn)位置（l，0）         （1分）

（2）由上問①②③式，可得兩粒子的荷質(zhì)比及其與E、B的關(guān)系，對(duì)P、Q分別有
                ④
                ⑤（1分）
當(dāng)僅存在電場時(shí)，P粒子將向右偏，y方向分運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng)
vt=l                     ⑥（1分）
x方向分運(yùn)動(dòng)為受電場力下的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有
                 ⑦
                ⑧（1分）
結(jié)合④⑥⑦可得
               ⑨（1分）
由①④⑨可得
x₁=
同理可以求得Q粒子在-x方向的偏轉(zhuǎn)位移為
x₂=2l 
故P、Q兩粒子打在屏上的位置坐標(biāo)分別為（，l）、（-2l，l）。 （2分）
（3）由②和③可以得出結(jié)論，不論磁場為多少，P、Q兩粒子的軌道半徑R₁：R₂=4：1不變。因?yàn)閮闪Ｗ铀俣却笮∠嗟�，所以要想兩粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，即運(yùn)動(dòng)弧長相等，兩粒子運(yùn)動(dòng)的圓弧圓心角之比必須為θ₁：θ₂=1：4。
如圖粒子打在M屏上時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡圓弧圓心角θ（銳角）與半徑R滿足l=Rsinθ，不可能滿足R₁：R₂=4：1和θ₁：θ₂=1：4。所以兩粒子都打在M屏上不可能滿足要求。    （2分）
兩粒子都打在N屏上，圓心角都為π也不能滿足要求。  （2分）
所以結(jié)果必然為P粒子打在M屏而Q粒子打在N屏，所以θ₂=π，而θ₁=。
由幾何關(guān)系易得此時(shí)R₁=l，結(jié)合②③可求得此時(shí)
B₂= ，k=   （2分）