Question

19．我國月球探測(cè)計(jì)劃嫦娥工程已經(jīng)啟動(dòng)，“嫦娥1號(hào)”探月衛(wèi)星也已發(fā)射．設(shè)想嫦娥1號(hào)登月飛船貼近月球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，飛船發(fā)射的月球車在月球軟著陸后，自動(dòng)機(jī)器人在月球表面上沿豎直方向以初速度v₀拋出一個(gè)小球，測(cè)得小球經(jīng)時(shí)間t落回拋出點(diǎn)，已知該月球半徑為R，萬有引力常量為G，月球質(zhì)量分布均勻．求：
（1）月球表面的重力加速度
（2）月球的密度
（3）月球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，求出月球表面的重力加速度；
（2）根據(jù)萬有引力等于重力 $\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg，結(jié)合體積、密度與質(zhì)量的關(guān)系即可求出；
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{R}$求出月球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知：${v}_{0}-\frac{1}{2}gt=0$…①
所以：g=$\frac{2{v}_{0}}{t}$
（2）設(shè)月球的半徑為R，月球的質(zhì)量為M，則：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg…②
體積與質(zhì)量的關(guān)系：M=ρV=$\frac{4}{3}π{R}^{3}•ρ$ …③
聯(lián)立得：ρ=$\frac{3{v}_{0}}{2πRGt}$
（3）由萬有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{R}$
聯(lián)立得：v=$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$
答：（1）月球表面的重力加速度是$\frac{2{v}_{0}}{t}$；
（2）月球的密度是$\frac{3{v}_{0}}{2πRGt}$；
（3）月球的第一宇宙速度$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查人造衛(wèi)星的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵要建立模型，掌握萬有引力等于重力和萬有引力提供向心力．