Question

8．用折射率為n=$\sqrt{2}$的透明物質做成的內(nèi)外半徑分別為a和b的空心球，空心內(nèi)表面上涂上能完全吸收光的物質．現(xiàn)有一束平行光射向此球，求：
（�。┮�想使射入球內(nèi)的折射光線都被內(nèi)表面吸收，a和b之間必須滿足什么條件；
（ⅱ）對不同條件下的a、b，分別求出被吸收掉的光束的橫截面積為多大．（注意：被吸收掉的光束的橫截面積，指的是原來入射平行光線的橫截面積，本題不考慮透明物質的吸收和外表面的反射）

Answer 1

分析 （�。┮�想使射入球內(nèi)的折射光線都被內(nèi)表面吸收，必須使與外表面相切的光線進入透明物質內(nèi)時折射光線與內(nèi)表面相切，根據(jù)幾何知識求出該光線的折射角，由幾何關系求a和b之間必須滿足什么條件；
（ⅱ）①若a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，進入空心球內(nèi)的光線不能被完全吸收．②若a≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，凡是進入空心球內(nèi)的光線都能被全部吸收，根據(jù)幾何知識和折射定律結合解答．

解答 解：（i）如圖，假設射向P點的光線經(jīng)過折射后剛好與內(nèi)表面上Q點相切，則有
  sinβ=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
在△OPQ中，sinβ=$\frac{a}$
解得 a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b
判斷可知，只要滿足條件：a≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，就會使射入球內(nèi)的折射光線都能被內(nèi)表面吸收．
（ii）若a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，進入空心球內(nèi)的光線不能被完全吸收．
如圖，P′Q′為內(nèi)圓的切線，則有 $\frac{sinα}{sinγ}$=n
在△P′Q′O中，sinγ=$\frac{a}$
在△P′MO中，sinα=$\frac{r}$
解得 r=an=$\sqrt{2}$a
所求面積為 S=πr²=2πa²
②若a≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，凡是進入空心球內(nèi)的光線都能被全部吸收，所以所求的面積由b的大小來決定，則所求的面積為 S=πb²．
答：
（i）只要滿足條件：a≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，就會使射入球內(nèi)的折射光線都能被內(nèi)表面吸收．
（ii）若a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，被吸收掉的光束的橫截面積為2πa²，若a≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，被吸收掉的光束的橫截面積為πb²．

點評 解決本題的關鍵作出光路圖和臨界光線，根據(jù)光路圖，通過折射定律和幾何關系進行求解．