Question

12．如圖所示，在光滑水平面上，質量為m的小球A和質量為$\frac{1}{3}$m的小球B通過輕彈簧連接并處于靜止狀態(tài)，彈簧處于原長；質量為m的小球C以初速度v₀沿AB連線向右勻速運動，并與小球A發(fā)生彈性碰撞．在小球B的右側某位置固定一塊彈性擋板（圖中未畫出），當彈簧恢復原長時，小球B與擋板發(fā)生正碰并立刻將擋板撤走．不計所有碰撞過程中的機械能損失，彈簧始終處于彈性限度內，小球B與擋板的碰撞時間極短，碰后小球B的速度大小不變，但方向相反．在小球A向右運動過程中，求：
（1）小球B與擋板碰撞前，彈簧彈性勢能最大值；
（2）小球B與擋板碰撞時，小球A、B速度分別多大？
（3）小球B與擋板碰撞后彈簧彈性勢能最大值．

Answer 1

分析 （1）C、A碰撞過程系統(tǒng)動量守恒，應用動量守恒定律與機械能守恒定律可以求出碰撞后A的速度，A、B系統(tǒng)動量守恒，A、B速度相等時彈簧彈性勢能最大，由動量守恒定律與能量守恒定律可以求出最大彈性勢能．
（2）A、B系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律與機械能守恒定律可以求出小球的速度．
（3）A、B系統(tǒng)動量守恒，由動量守恒定律與能量守恒定律可以求出最大彈性勢能．

解答 解：（1）C、A發(fā)生彈性碰撞，碰撞過程動量守恒、機械能守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得：
mv₀=mv_C+mv_A，
由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv_C²+$\frac{1}{2}$mv_A²，
解得：v_C=0，v_A=v₀，
因C與A發(fā)生了彈性碰撞，碰后C停下，A以V₀向用運動，當V_a=V_B 時，E_P最大，
以向右為正方向，對A、B系統(tǒng)，由動量守恒定律得：
$m{v_0}=（m+\frac{1}{3}m）{v_1}$，
解得：${v_1}=\frac{3}{4}{v_0}$，
由能量守恒定律的，最大彈性勢能為：
E_P=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$（m+$\frac{1}{3}$m）v₁²，
解得：E_P=$\frac{1}{8}$mv₀²；
（2）A、B系統(tǒng)動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得：
mv_A=mv_A′+$\frac{1}{3}$mv_B，
由機械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$mv_A²=$\frac{1}{2}$mv_A′²+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$mv_B²，
解得：v_A′=$\frac{{v}_{0}}{2}$，v_B=$\frac{3{v}_{0}}{2}$；
（3）B與板碰撞后，A、B兩球受力相等時彈簧彈性勢能最大，以向左為正方向，由動量守恒定律得：
mv_A′-$\frac{1}{3}$mv_B=（m+$\frac{1}{3}$m）v，
解得：v=0，
彈簧的最大彈性勢能：E_P′=$\frac{1}{2}$mv_A′²+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$mv_B²，
解得：E_P′=$\frac{1}{2}$mv₀²；
答：（1）小球B與擋板碰撞前，彈簧彈性勢能最大值為$\frac{1}{8}$mv₀²；
（2）小球B與擋板碰撞時，小球A、B速度分別為：$\frac{{v}_{0}}{2}$、$\frac{3{v}_{0}}{2}$；
（3）小球B與擋板碰撞后彈簧彈性勢能最大值為$\frac{1}{2}$mv₀²．

點評 本題考查了求彈性勢能、速度問題，分析清楚物體運動過程，應用動量守恒定律、機械能守恒定律與能量守恒定律即可正確解題．