Question

2．在如圖甲所示的半徑為r的豎直圓柱形區(qū)域內(nèi)，存在豎直向上的勻強磁場，磁感應強度大小隨時間的變化關系為B=kt（k＞0且為常量）．

（1）將一由細導線構成的半徑為r、電阻為R₀的導體圓環(huán)水平固定在上述磁場中，并使圓環(huán)中心與磁場區(qū)域的中心重合．求在T時間內(nèi)導體圓環(huán)產(chǎn)生的焦耳熱．
（2）上述導體圓環(huán)之所以會產(chǎn)生電流是因為變化的磁場會在空間激發(fā)渦旋電場，該渦旋電場趨使導體內(nèi)的自由電荷定向移動，形成電流．如圖乙所示，變化的磁場產(chǎn)生的渦旋電場存在于磁場內(nèi)外的廣闊空間中，其電場線是在水平面內(nèi)的一系列沿順時針方向的同心圓（從上向下看），圓心與磁場區(qū)域的中心重合．在半徑為r的圓周上，渦旋電場的電場強度大小處處相等，并且可以用E_渦=$\frac{?}{2πr}$，其中ε為由于磁場變化在半徑為r的導體圓環(huán)中產(chǎn)生的感生電動勢．如圖丙所示，在磁場區(qū)域的水平面內(nèi)固定一個內(nèi)壁光滑的絕緣環(huán)形真空細管道，其內(nèi)環(huán)半徑為r，管道中心與磁場區(qū)域的中心重合．由于細管道半徑遠遠小于r，因此細管道內(nèi)各處電場強度大小可視為相等的．某時刻，將管道內(nèi)電荷量為q的帶正電小球由靜止釋放（小球的直徑略小于真空細管道的直徑），小球受到切向的渦旋電場力的作用而運動，該力將改變小球速度的大小．該渦旋電場力與電場強度的關系和靜電力與電場強度的關系相同．假設小球在運動過程中其電荷量保持不變，忽略小球受到的重力、小球運動時激發(fā)的磁場以及相對論效應．
①若小球由靜止經(jīng)過一段時間加速，獲得動能E_m，求小球在這段時間內(nèi)在真空細管道內(nèi)運動的圈數(shù)；
②若在真空細管道內(nèi)部空間加有方向豎直向上的恒定勻強磁場，小球開始運動后經(jīng)過時間t₀，小球與環(huán)形真空細管道之間恰好沒有作用力，求在真空細管道內(nèi)部所加磁場的磁感應強度的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應定律，結合閉合電路歐姆定律，及焦耳定律，即可求解；
（2）根據(jù)題意，求得斡旋電場，再確定電場力的大小，根據(jù)動能定理，從而求出運動的圈數(shù)；再由運動的合成與分解，結合運動學公式與牛頓第二定律，即可求解．

解答 解：（1）導體圓環(huán)內(nèi)的磁通量發(fā)生變化，將產(chǎn)生感生電動勢，
根據(jù)法拉第電磁感應定律，感生電動勢為$E=\frac{△Φ}{△t}=\frac{△Bs}{△t}$=πr²k，
$I=\frac{E}{{R}_{0}}=\frac{π{r}^{2}k}{{R}_{0}}$，
在T時間內(nèi)導體圓環(huán)產(chǎn)生的焦耳熱為：
Q=I²R₀T，
解得$Q=\frac{T{π}^{2}{k}^{2}{r}^{4}}{{R}_{0}}$
（2）①根據(jù)題意可知，磁場變化將在真空管道處產(chǎn)生渦旋電場，該電場的電場強度為：
${E}_{電}=\frac{E}{2πr}=\frac{kr}{2}$，
小球在該電場中受到的電場力的作用，電場力的大小為：
$F={E}_{電}q=\frac{kqr}{2}$，
電場力的方向與真空管道相切，即與速度方向始終相同，小球將會被加速，動能增大，
根據(jù)動能定理可得 Fs=E_m，小球運動的圈數(shù)為 $N=\frac{s}{2πr}$，
解得：N=$\frac{{E}_{m}}{kqπ{r}^{2}}$；
②小球的切向加速度大小為：$a=\frac{F}{m}=\frac{kqr}{2m}$，
由于小球沿速度方向受到大小恒定的電場力，所以經(jīng)過時間t₀，
小球的速度大小v滿足v=at₀，
小球沿管道做圓周運動，因為小球與管道之間沒有相互作用力，所以，小球受到洛倫茲力提供小球的向心力，
設所加的洛倫茲力提供小球的向心力，設所加磁場的磁感應強度為B₀，
則有：$qv{B}_{0}=\frac{m{v}^{2}}{r}$，
解得：${B}_{0}=\frac{1}{2}k{t}_{0}$．
答：（1）在T時間內(nèi)導體圓環(huán)產(chǎn)生的焦耳熱$\frac{T{π}^{2}{k}^{2}{r}^{4}}{{R}_{0}}$；
（2）①若小球由靜止經(jīng)過一段時間加速，獲得動能E_m，求小球在這段時間內(nèi)在真空細管道內(nèi)運動的圈數(shù)$\frac{{E}_{m}}{kqπ{r}^{2}}$；
②若在真空細管道內(nèi)部空間加有方向豎直向上的恒定勻強磁場，小球開始運動后經(jīng)過時間t₀，小球與環(huán)形真空細管道之間恰好沒有作用力，求在真空細管道內(nèi)部所加磁場的磁感應強度的大小為$\frac{1}{2}k{t}_{0}$．

點評 考查電磁學與力學綜合運用的內(nèi)容，掌握法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律與焦耳定律的應用，理解動能定理及牛頓運動定理，
注意電場強度與電動勢的符號區(qū)別，此題難度較大．