Question

19．“嫦娥一號(hào)”的成功發(fā)射，為實(shí)現(xiàn)中華民族幾千年的奔月夢(mèng)想邁出了重要的一步．已知“嫦娥一號(hào)”繞月飛行軌道近似圓周，距月球表面高度為H，飛行周期為T(mén)，月球的半徑為R，引力常量為G，試求：
（1）月球的質(zhì)量M
（2）月球表面的重力加速度g₀．

Answer 1

分析 “嫦娥一號(hào)”圍繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，月球?qū)Α版隙鹨惶?hào)”的萬(wàn)有引和提供“嫦娥一號(hào)”的向心力，由此列式可以求出月球的質(zhì)量M；在月球表面，月球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力等于月球表面的重力，由此列式得出月球表面的重力加速度g₀．

解答 解：（1）由題意，嫦娥一號(hào)由萬(wàn)有引力提供向心力，設(shè)嫦娥一號(hào)的質(zhì)量為m，月球的質(zhì)量為M，因?yàn)檐壍栏叨葹镠，則軌道半徑r=R+H，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
r=R+H，
得月球的質(zhì)量：
$M=\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）月球表面的重力和萬(wàn)有引力相等，即有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$，
解得：${g}_{0}=\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{4{π}^{2}{（R+H）}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．
答：（1）月球的質(zhì)量$\frac{4{π}^{2}{（R+H）}^{3}}{G{T}^{2}}$．（2）月球表面的重力加速度$\frac{4{π}^{2}{（R+H）}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 能正確根據(jù)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力由萬(wàn)有引力提供和量球表面的重力和萬(wàn)有引力相等列式求解有關(guān)質(zhì)量、重力加速度問(wèn)題．