Question

15．如圖所示，在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處有一放射源，向四周均勻發(fā)射速度大小相等、方向都平行于紙面的帶電粒子，在放射源右邊有一垂直于x軸放置的很薄的擋板，擋板與xOy平面交線的兩端M、N與原點(diǎn)O正好構(gòu)成等腰直角三角形．已知帶電粒子的質(zhì)量為m，帶電量為q，速率為v，MN的長(zhǎng)度為L(zhǎng)．（粒子不計(jì)重力）．若在整個(gè)空間加一方向垂直紙面向里勻強(qiáng)磁場(chǎng)，
（1）若粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，則所加磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為多少？
（2）要使所有運(yùn)動(dòng)的粒子都不能打到擋板MN上，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的最小值為多大？
（3）要使板右側(cè)的MN上都有粒子打到，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度不能超過(guò)多少？若剛好滿足此條件，放射源O 向外發(fā)射出的所有帶電粒子打在板的左邊和打在板右邊的粒子數(shù)之比為多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）要使y軸右側(cè)所有運(yùn)動(dòng)粒子都不打在 MN板上，其臨界條件為：沿y軸方向運(yùn)動(dòng)的粒子作圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡剛好與MN相切．根據(jù)牛頓第二定律求出電場(chǎng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值
（3）加勻強(qiáng)磁場(chǎng)后，粒子沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)軌跡以O(shè)′為圓心同時(shí)過(guò)M、N兩點(diǎn)時(shí)，軌跡直徑最小，得到粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由牛頓第二定律求出B的最大值．根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)情況求出粒子數(shù)之比．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得，磁感應(yīng)強(qiáng)度：B=$\frac{mv}{qr}$；
（2）設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為R，
帶電粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力提供，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得，B=$\frac{mv}{qR}$，
由于從O點(diǎn)射出的粒子的速度大小都相同，則所有粒子的軌跡半徑都相等．
由幾何知識(shí)可知，為使粒子不打在擋板上，粒軌跡的半徑最大時(shí)，
帶電粒子在O點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射出，其軌跡剛好與MN相切，
由題意可知：△MON是等腰直角三角形，由幾何知識(shí)可知，
粒子最大軌道半徑：R=$\frac{L}{4}$，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的最小值：B₀=$\frac{4mv}{qL}$；
（3）粒子在磁場(chǎng)中沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，
要使板右側(cè)的MN連線上都有粒子打到，粒子軌跡半徑的最小值：R=$\frac{1}{2}$L．

粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得，磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值：B=$\frac{2mv}{qL}$，

從O點(diǎn)向第三象限發(fā)射出的粒子均能打在MN板的右側(cè)，占發(fā)射粒子總數(shù)的$\frac{1}{4}$，
從O點(diǎn)向第四象限發(fā)射出的粒子均能打在MN板的左側(cè)，占發(fā)射粒子總數(shù)的$\frac{1}{4}$，
放射源O向外發(fā)射出的所有帶電粒子打在板的左邊和打在板右邊的粒子數(shù)之比為1：1；
答：（1）若粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，所加磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為$\frac{mv}{qr}$；
（2）要使所有運(yùn)動(dòng)的粒子都不能打到擋板MN上，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀的最小值為$\frac{4mv}{qL}$；
（3）要使板右側(cè)的MN上都有粒子打到，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度不能超過(guò)$\frac{2mv}{qL}$，
若剛好滿足此條件，放射源O向外發(fā)射出的所有帶電粒子打在板的左邊和打在板右邊的粒子數(shù)之比為1：1．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，關(guān)鍵是找到軌跡的圓心，由幾何關(guān)系得到半徑，由洛倫茲力提供向心力求解，其中想象粒子可能的運(yùn)動(dòng)情景是比較困難的．