Question

3．如圖所示，A是高為H=5m的平臺，與軌道PQMN在同一豎直平面上，PQMN依次為平滑連接的滑行軌道，其中PQ段與水平面成θ=37°，P端離地面高h=3.2m，QMN由半徑為R₁=10m的凹行圓弧軌道和平滑凸行軌道組成．其中M點為凹行圓弧軌道的最低點，N點為凸形軌道的最高點，N點附近軌道可看作圓心在O點半徑為R₂的圓弧軌道．已知滑板及運動員的總質(zhì)量m=60kg，運動員從A點水平滑出，經(jīng)P點切入軌道PQ（速度方向恰好沿PQ方向），經(jīng)M點后從N點水平飛出．（運動過程中可把滑板及運動員視為質(zhì)點，忽略摩擦阻力和空氣阻力，sin37°=0.6）
（1）設計軌道時，A到P的水平距離L應為多少？
（2）滑板滑到M點時，軌道對滑板的支持力多大？
（3）運動員從N點水平滑出軌道，設到N點時對軌道的壓力大小為F_N，求F_N與軌道半徑R₂的函數(shù)式，并指出該函數(shù)式中的R₂的取值范圍．（假設小車與滑板在N點之前不會離開軌道）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)速度位移公式求出P點的豎直分速度，結(jié)合平行四邊形定則求出初速度，根據(jù)豎直分速度求出平拋運動的時間，從而求出水平位移．
（2）根據(jù)平行四邊形定則求出P點的速度，結(jié)合動能定理求出M點的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出支持力的大小．
（3）根據(jù)動能定理求出N點的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出壓力與半徑R₂的函數(shù)式，抓住N點的速度大于等于零，以及N點的壓力大于等于零，求出R₂的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)平行四邊形定則知，tan37°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$，
又${v}_{y}=\sqrt{2g（H-h）}$=$\sqrt{2×10×1.8}$m/s=6m/s．
解得${v}_{0}=\frac{{v}_{y}}{\frac{3}{4}}=\frac{6}{\frac{3}{4}}m/s=8m/s$，
A與P的水平距離L=${v}_{0}•\frac{{v}_{y}}{g}=8×\frac{6}{10}m=4.8m$．
（2）P點的速度${v}_{p}=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{64+36}$m/s=10m/s，
根據(jù)動能定理得，$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{p}}^{2}$，
在M點，有：$N-mg=m\frac{{{v}_{M}}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立解得N=1584N．
（3）根據(jù)動能定理得，$-mg{R}_{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}$，
在N點，mg-N′=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$，
則F_N=N′=$1800-\frac{9840}{{R}_{2}}$，
因為F_N≥0，則R₂≥5.47m，
因為v≥0，解得R₂≤8.2m．
所以5.47m≤R₂≤8.2m．
答：（1）A到P的水平距離L應為4.8m．
（2）軌道對滑板的支持力為1584N．
（3）F_N與軌道半徑R₂的函數(shù)式為F_N=$1800-\frac{9840}{{R}_{2}}$，R₂的取值范圍5.47m≤R₂≤8.2m．

點評 本題考查了圓周運動、平拋運動與動能定理的綜合運用，知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律，以及圓周運動向心力的來源是解決本題的關鍵．