Question

4．如圖所示，光滑固定細(xì)桿與水平方向夾角為53°，輕質(zhì)彈簧一端固定在O點(diǎn)，另一端連接一個(gè)中央帶孔（孔徑略大于桿的直徑）的小球，小球套在細(xì)桿上．現(xiàn)將小球拉至彈簧處于水平位置并由靜止釋放，測(cè)得下滑過(guò)程中小球的機(jī)械能先增大后減小，當(dāng)小球的動(dòng)能最大時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能恰好與初始時(shí)相同．已知小球質(zhì)量為m，O點(diǎn)到桿的距離為l，重力加速度為g，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，sin53°=0.8，cos53°=0.6．由以上條件可求出：小球的最大速度為$\sqrt{\frac{12gl}{5}}$，加速過(guò)程的最大加速度為$\frac{8}{5}g$，彈簧勁度系數(shù)的最大可能值為$\frac{16mg}{3l}$．

Answer 1

分析 下滑過(guò)程中小球的機(jī)械能先增大后減小，彈簧對(duì)小球先做正功后做負(fù)功，根據(jù)對(duì)稱性確定小球的動(dòng)能最大時(shí)下滑的距離，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求小球最大速度．當(dāng)合力最大時(shí)，此位置為初位置，小球的加速度最大，由牛頓第二定律求最大加速度．

解答 解：從靜止釋放開(kāi)始到動(dòng)能最大時(shí)，小球下滑的距離：x=2ltan37°．根據(jù)能量守恒定律有：mg$•2ltan37°•cos37°=\frac{1}{2}$$m{v}_{m}^{2}$
解得：${v}_{m}=\sqrt{\frac{12gl}{5}}$
當(dāng)小球的動(dòng)能最大時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能恰好與初始時(shí)相同，則合力為零，此時(shí)的形狀應(yīng)該與初態(tài)相同，如圖中的位置，作出受力圖，
Fcos74°=Ncos37°
Fsin74°=Nsin37°+mg
解得：F=$\frac{4}{3}mg$
由圖可知在初位置時(shí)合力最大，根據(jù)牛頓第二定律有：Fcos53°+mgsin53°=ma_m
解得：a_m=$\frac{8}{5}g$
彈簧與桿垂直時(shí)彈簧為原長(zhǎng)，由幾何關(guān)系可知初位置彈簧的形變?yōu)椋?△x=\frac{l}{sin53°}-l=\frac{1}{4}l$
則：k△x=$\frac{4}{3}mg$
解得：k=$\frac{16mg}{3l}$
故答案為：$\sqrt{\frac{12gl}{5}}$，$\frac{8}{5}g$，$\frac{16mg}{3l}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了機(jī)械能守恒定律、牛頓第二定律的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析小球的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況．