Question

9．如圖1所示，兩根相距為L的金屬軌道固定于水平面上，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，一根質(zhì)量為m、長為L、電阻為R的金屬棒兩端放于導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌與金屬棒間的動(dòng)摩擦因數(shù)為?，棒與導(dǎo)軌的接觸良好．導(dǎo)軌左端連有阻值為2R的電阻，在電阻兩端接有電壓傳感器并與計(jì)算機(jī)相連．有n段方向豎直向下、寬度為a、間距為b的勻強(qiáng)磁場（a＞b），磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．金屬棒初始位于OO′處，與第一段磁場相距2a．

（1）若金屬棒有向右的初速度v₀，為使金屬棒保持v₀一直向右穿過各磁場，需對(duì)金屬棒施加一個(gè)水平向右的拉力，求金屬棒進(jìn)入磁場前拉力F₁的大小和進(jìn)入磁場后拉力F₂的大��；
（2）在（1）的情況下，求金屬棒從OO′開始運(yùn)動(dòng)到剛離開第n段磁場過程中，拉力所做的功；
（3）若金屬棒初速度為零，現(xiàn)對(duì)棒施以水平向右的恒定拉力F，使棒穿過各段磁場，發(fā)現(xiàn)計(jì)算機(jī)顯示出的電壓隨時(shí)間做周期性變化，如圖2所示．從金屬棒進(jìn)入第一段磁場開始計(jì)時(shí)，求整個(gè)過程中導(dǎo)軌左端電阻上產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）金屬棒在進(jìn)入磁場前，不受安培力作用，勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，拉力與摩擦力平衡；在進(jìn)入磁場后，金屬棒切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電流，勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，拉力與摩擦力和安培力平衡．根據(jù)平衡條件和電磁感應(yīng)知識(shí)，可求出拉力．
（2）利用功的公式，求出拉力做的總功．
（3）進(jìn)入磁場前，拉力和摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定理，求出金屬棒進(jìn)入磁場時(shí)的速度．進(jìn)入在磁場時(shí)，拉力、摩擦力和安培力做功，根據(jù)能量守恒定律求出熱量．

解答 解：（1）當(dāng)金屬棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，
進(jìn)入磁場前，F(xiàn)₁=μmg        
進(jìn)入磁場后，F(xiàn)₂=μmg+F_安  
又F_安=BIL
$I=\frac{BL{V}_{0}}{3R}$   
解得：${F}_{2}=μmg+\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{3R}$
 （2）金屬棒在磁場外運(yùn)動(dòng)過程中，有：
W₁=μmg[2a+（n-1）b]
穿過 n 段磁場過程中，W₂=nF₂a
故拉力做功為：W=W₁+W₂=μmg[2a+（n-1）b]+nF₂a=$μmg[（n+2）a+（n-1）b]+\frac{n\;{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}a}{3R}$        
（3）金屬棒進(jìn)入第一段磁場前，$（F-μmg）•2a=\frac{1}{2}m\;{v}_{1}^{2}$
穿過第一段磁場過程中，F(xiàn)a-μmga-E_電1=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
金屬棒從穿出第一段磁場到進(jìn)入第二段磁場的過程中，$（F-μmg）b=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$          
得到，E_電1=（F-μmg）（a+b）
從OO′開始運(yùn)動(dòng)到剛離開第n段磁場整個(gè)過程中電路中產(chǎn)生總熱量E_電=n（F-μmg）（a+b）
由于金屬棒與電阻的感應(yīng)電流瞬時(shí)相等，根據(jù)焦耳定律Q=I²Rt，Q∝R
整個(gè)過程中電阻上產(chǎn)生的總熱量為：$Q=n\frac{2R}{3R}{E}_{電}$
解得：$Q=\frac{2}{3}n（F-μmg）（a+b）$
答：（1）金屬棒不在磁場中時(shí)受到的拉力F₁=mg，在磁場中時(shí)受到的拉力F₂的大小為$μmg+\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{3R}$；
    （2）拉力所做的功為$μmg[（n+2）a+（n-1）b]+\frac{n\;{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}a}{3R}$；   
    （3）金屬棒從OO′開始運(yùn)動(dòng)到剛離開第n段磁場整個(gè)過程中導(dǎo)軌左端電阻上產(chǎn)生的熱量為$\frac{2}{3}n（F-μmg）（a+b）$

點(diǎn)評(píng) 本題分析受力是基礎(chǔ)，關(guān)鍵從能量轉(zhuǎn)化和守恒角度來求解，解題時(shí)要注意抓住使棒進(jìn)入各磁場的速度都相同，以及通過每段磁場時(shí)電路中發(fā)熱量均相同的條件．