Question

9．如圖，坐標(biāo)空間中有場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)和磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，y軸為兩種場(chǎng)的分界線(xiàn)，圖中虛線(xiàn)為磁場(chǎng)區(qū)域的右邊界．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為-q的帶電粒子從電場(chǎng)中坐標(biāo)（-l，0）處，以初速度v₀沿x軸正方向開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，且己知l=$\frac{{\sqrt{3}m{v_0}^2}}{qE}$（重力不計(jì)）．試求：
（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小
（2）若要使帶電粒子能穿越磁場(chǎng)區(qū)域而不再返回電場(chǎng)中，磁場(chǎng)的寬度d應(yīng)滿(mǎn)足的條件．并求出滿(mǎn)足上述條件下，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中受電場(chǎng)力作用產(chǎn)生加速度，根據(jù)題意知粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解的方法處理類(lèi)平拋問(wèn)題，求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度；
（2）畫(huà)出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)臨界條件時(shí)的軌跡，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力和軌跡的幾何知識(shí)求解磁場(chǎng)寬度應(yīng)該滿(mǎn)足的條件，根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式與粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向：l=v₀t，
豎直方向：v_y=at=$\frac{qE}{m}$t，
速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，
解得：v_y=$\sqrt{3}$v₀，
v=2v₀，
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\sqrt{3}$，
則：θ=60°；
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后在洛侖茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，粒子恰好離開(kāi)右側(cè)邊界時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：

由幾何知識(shí)得：r+rcos30°=d，
解得：d=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$r，
粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，牛頓第二定律得：
qvB=$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$，
則：d=$\frac{（2+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}$，若要使帶電粒子能穿越磁場(chǎng)區(qū)域而不再返回電場(chǎng)中，
磁場(chǎng)的寬度d應(yīng)滿(mǎn)足的條件是：d≤$\frac{（2+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}$；
在粒子軌道半徑一定時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)越長(zhǎng)，粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角越大，
粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，當(dāng)d=$\frac{（2+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}$時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角：α=150°，
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子的最長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{150°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{5πm}{6qB}$；
答：（1）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小為2v₀．
（2）若要使帶電粒子能穿越磁場(chǎng)區(qū)域而不再返回電場(chǎng)中，磁場(chǎng)的寬度d應(yīng)滿(mǎn)足的條件是：d≤$\frac{（2+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}$．粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為$\frac{5πm}{6qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)和在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中掌握類(lèi)平拋問(wèn)題的處理方法，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)要掌握住半徑公式、周期公式，畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了