Question

9．如圖，坐標(biāo)空間中有場強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場和磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，y軸為兩種場的分界線，圖中虛線為磁場區(qū)域的右邊界．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為-q的帶電粒子從電場中坐標(biāo)（-l，0）處，以初速度v₀沿x軸正方向開始運(yùn)動，且己知l=$\frac{{\sqrt{3}m{v_0}^2}}{qE}$（重力不計(jì)）．試求：
（1）帶電粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小
（2）若要使帶電粒子能穿越磁場區(qū)域而不再返回電場中，磁場的寬度d應(yīng)滿足的條件．并求出滿足上述條件下，粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中受電場力作用產(chǎn)生加速度，根據(jù)題意知粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，利用運(yùn)動的合成與分解的方法處理類平拋問題，求出粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度；
（2）畫出粒子在磁場中運(yùn)動臨界條件時(shí)的軌跡，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力和軌跡的幾何知識求解磁場寬度應(yīng)該滿足的條件，根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動的周期公式與粒子轉(zhuǎn)過的圓心角求出粒子的運(yùn)動時(shí)間．

解答 解：（1）帶電粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，
水平方向：l=v₀t，
豎直方向：v_y=at=$\frac{qE}{m}$t，
速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$，
解得：v_y=$\sqrt{3}$v₀，
v=2v₀，
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\sqrt{3}$，
則：θ=60°；
（2）粒子進(jìn)入磁場后在洛侖茲力作用下做圓周運(yùn)動，粒子恰好離開右側(cè)邊界時(shí)運(yùn)動軌跡如圖所示：

由幾何知識得：r+rcos30°=d，
解得：d=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$r，
粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，牛頓第二定律得：
qvB=$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$，
則：d=$\frac{（2+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}$，若要使帶電粒子能穿越磁場區(qū)域而不再返回電場中，
磁場的寬度d應(yīng)滿足的條件是：d≤$\frac{（2+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}$；
在粒子軌道半徑一定時(shí)，粒子運(yùn)動軌跡對應(yīng)的弦長越長，粒子轉(zhuǎn)過的圓心角越大，
粒子的運(yùn)動時(shí)間最長，當(dāng)d=$\frac{（2+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}$時(shí)，粒子運(yùn)動時(shí)間最長，轉(zhuǎn)過的圓心角：α=150°，
粒子做圓周運(yùn)動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子的最長運(yùn)動時(shí)間：t=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{150°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{5πm}{6qB}$；
答：（1）帶電粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小為2v₀．
（2）若要使帶電粒子能穿越磁場區(qū)域而不再返回電場中，磁場的寬度d應(yīng)滿足的條件是：d≤$\frac{（2+\sqrt{3}）m{v}_{0}}{qB}$．粒子在磁場中運(yùn)動的最長時(shí)間為$\frac{5πm}{6qB}$．

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在勻強(qiáng)電場中做類平拋運(yùn)動和在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動，在電場中掌握類平拋問題的處理方法，在磁場中運(yùn)動要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運(yùn)動軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了