Question

3．如圖所示，在直角坐標系的第一象限分布著電場強度E=100V/m，方向水平向左的勻強向左的勻強電場，其余三象限分布著垂直紙面向里的勻強磁場，現(xiàn)從電場中A（0.25m，0.2m）點由靜止釋放一比荷$\frac{q}{m}$=2×10⁴C/kg、不計重力的帶正電微粒．
（1）若該微粒第一次進入磁場后垂直通過x軸，求勻強磁場的磁感應強度和帶電微粒第二次進入磁場時的位置坐標；
（2）為了使微粒第一次返回第一象限時還能回到釋放點A，在微粒第一次進入磁場后撤掉第一的電場，求此情況下勻強磁感應強度大�。�

Answer 1

分析 （1）帶點微粒在電場中做初速度為零的勻加速直線運動，由牛頓第二定律結(jié)合勻變速直線運動的規(guī)律或者單獨用動能定理均可求解；進入磁場后做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力（牛頓第二定律）結(jié)合幾何關(guān)系求解；
（2）電場中的運動與（1）相同，故微粒以相同速度進入磁場；畫出可能的微粒軌跡過程圖，微粒在磁場中做勻速圓周運動，運用洛倫茲力提供向心力（牛頓第二定律）與幾何關(guān)系結(jié)合，即可求解．

解答 解：（1）設微粒質(zhì)量為m，電量為q，第一次進入磁場時速度為v₀，磁感應強度為B，在磁場中做勻速圓周運動的半徑為r，
如圖一所示，O即為粒子在磁場中做圓周運動的圓心；
由幾何關(guān)系可得：r=0.2m ①
根據(jù)動能定理可得：qEx=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$ ②
洛倫茲力提供向心力可得：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$ ③
聯(lián)立①②③式得：v₀=$\sqrt{\frac{2qEx}{m}}$=1000m/s ④
B=$\frac{{mv}_{0}}{qr}$=0.25T
微粒在磁場中剛好運動$\frac{3}{4}$圓周后，從點（0.2m，0）處垂直電場方向進入電場做類平拋運動．
設微粒第二次進入磁場的位置坐標為（0，y）
則根據(jù)類平拋規(guī)律有：x=$\frac{1}{2}$at² ⑤
y=v₀t ⑥
根據(jù)牛頓第二定律得：Eq=ma ⑦
聯(lián)立④⑤⑥⑦式得：y=$\frac{\sqrt{5}}{5}$m
所以微粒第二次進入磁場的位置坐標為（0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$m）
（2）設A點坐標為（x，y），根據(jù)已知：x=0.25m，y=0.2m
經(jīng)分析可知，為了使微粒第一次返回第一象限時還能回到釋放點A，存在兩種情況
第一種：如圖二所示，設磁感應強度為B₁，粒子半徑為r₁，圓心為O₁，粒子從C點進入第一象限并經(jīng)過A點，
洛倫茲力提供向心力可得：qv₀B₁=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$ ⑧
幾何關(guān)系有：OC=x+$\sqrt{{AC}^{2}-{y}^{2}}$，根據(jù)對稱性：AC=x=2.5m，兩式聯(lián)立得：OC=4m
對△OO₁C運用勾股定理得：${（{r}_{1}-y）}^{2}$+OC²=${r}_{1}^{2}$；將OC=4m代入得：r₁=5m  ⑨
聯(lián)立④⑧⑨式得：B₁=$\frac{m{v}_{0}}{{qr}_{1}}$=0.01T
第二種：如圖三所示，設磁感應強度為B₂，粒子半徑為r₂，圓心為O₂，粒子從D點進入第一象限并經(jīng)過A點，
洛倫茲力提供向心力可得：qv₀B₂=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{2}}$ ⑩
幾何關(guān)系有：OD=x-$\sqrt{{AD}^{2}{-y}^{2}}$，根據(jù)對稱性：AD=x=2.5m，兩式聯(lián)立得：OD=1m
對△OO₁C運用勾股定理得：${（y-{r}_{2}）}^{2}$+OD²=${r}_{2}^{2}$；將OD=1m代入得：r₂=1.25m⑪
聯(lián)立④⑩⑪式得：B₂=$\frac{{mv}_{0}}{q{r}_{2}}$=0.04T
答：（1）若該微粒第一次進入磁場后垂直通過x軸，勻強磁場的磁感應強度為0.25T，帶電微粒第二次進入磁場時的位置坐標為（0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$m）；
（2）為了使微粒第一次返回第一象限時還能回到釋放點A，在微粒第一次進入磁場后撤掉第一的電場，此情況下勻強磁感應強度大小為0.01T或0.04T．

點評 本題考查帶電粒子在加速電場中的勻加速直線運動、偏轉(zhuǎn)電場中的類平拋運動以及在磁場中的勻速圓周運動．畫出運動過程圖、牢記典型過程的解題思路是解決問題的關(guān)鍵．加速場用動能定理解決，偏轉(zhuǎn)電場用運動的合成和分解解決，磁場中的運動運用洛倫茲力提供向心力（牛頓第二定律）結(jié)合幾何關(guān)系，其中在分析第二問時，注意分析其多種情況．