Question

3．如圖所示，上表面光滑的水平平臺(tái)左端與豎直面內(nèi)半徑為R的光滑半圓軌道相切，整體固定在水平地面上．平臺(tái)上放置兩個(gè)滑塊A、B，其質(zhì)量m_A=m，m_B=2m，兩滑塊間夾有被壓縮的輕質(zhì)彈簧，彈簧與滑塊不拴接．平臺(tái)右側(cè)有一小車，靜止在光滑的水平地面上，小車質(zhì)量M=3m，車長(zhǎng)L=2R，小車的上表面與平臺(tái)的臺(tái)面等高，滑塊與小車上表面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2．解除彈簧約束，滑塊A、B在平臺(tái)上與彈簧分離，在同一水平直線上運(yùn)動(dòng)．滑塊A經(jīng)C點(diǎn)恰好能夠通過(guò)半圓軌道的最高點(diǎn)D，滑塊B沖上小車．兩個(gè)滑塊均可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g．求：

（1）滑塊A在半圓軌道最低點(diǎn)C處時(shí)的速度大�。�
（2）滑塊B沖上小車后與小車發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小車的位移大�。�
（3）若右側(cè)地面上有一高度略低于小車上表面的立樁（圖中未畫出），立樁與小車右端的距離為S，當(dāng)小車右端運(yùn)動(dòng)到立樁處立即被牢固粘連．請(qǐng)討論滑塊B在小車上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，克服摩擦力做的功W_f與S的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）滑塊A在半圓軌道運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)由重力提供向心力，滑塊A在半圓軌道運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式，聯(lián)立方程即可求解；
（2）A、B在彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)的過(guò)程中動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出B的速度，假設(shè)滑塊可以在小車上與小車共速，由動(dòng)量守恒求出共同速度，再求出滑塊從滑上小車到與小車共速時(shí)的位移，從而求出此過(guò)程中小車的位移，通過(guò)滑塊B相對(duì)小車的位移判斷假設(shè)是否成立；
（3）根據(jù)立樁與小車右端的距離與小車的位移的大小關(guān)系兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)摩擦力做功以及功能關(guān)系求解．

解答 解：（1）滑塊A在半圓軌道運(yùn)動(dòng)，設(shè)到達(dá)最高點(diǎn)的速度為v_D，則有：$mg=m\frac{v_D^2}{R}$，
得：${v_D}=\sqrt{gR}$
滑塊A在半圓軌道運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，所以有：$2mgR+\frac{1}{2}mv_D^2=\frac{1}{2}mv_A^2$
解得：${v_A}=\sqrt{5gR}$
（2）A、B在彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)的過(guò)程中動(dòng)量守恒，設(shè)向左為正，則有：m_Av_A+（-m_Bv_B）=0
得：${v_B}=\frac{{\sqrt{5gR}}}{2}$
假設(shè)滑塊可以在小車上與小車共速，由動(dòng)量守恒得：m_Bv_B=（m_B+M）v_共
得：${v_共}=\frac{2}{5}{v_B}=\frac{{\sqrt{5gR}}}{5}$
則滑塊從滑上小車到與小車共速時(shí)的位移為：${S_B}=\frac{v_共^2-v_B^2}{-2μg}=\frac{21R}{8}$
車的加速度${a_車}=\frac{2}{15}g$
此過(guò)程中小車的位移為：${S_車}=\frac{v_共^2}{{2{a_車}}}=\frac{3}{4}R$
滑塊B相對(duì)小車的位移為：$△S={S_B}-{S_車}=\frac{15R}{8}＜2R$滑塊B未掉下小車，假設(shè)合理，
滑塊B沖上小車后與小車發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小車的位移${S_車}=\frac{3R}{4}$
（3）分析如下：
①當(dāng)$S≥\frac{3}{4}R$時(shí)滑塊B從滑上小車到共速時(shí)克服摩擦力做功為：${W_{f1}}=2μmg{S_B}=\frac{21mgR}{20}$，
車與立樁相碰，靜止后，滑塊B做勻減速運(yùn)動(dòng)直到停下的位移為：${S}_{1}=\frac{{v}_{共}^{2}}{2μg}=\frac{R}{2}＞（L-△S）$滑塊會(huì)脫離小車．
小車與立樁相碰靜止后，滑塊繼續(xù)運(yùn)動(dòng)脫離小車過(guò)程中，滑塊克服摩擦力做功為${W_{f2}}=2μmg（L-△S）=\frac{mgR}{20}$，
所以，當(dāng)$S≥\frac{3}{4}R$時(shí)，滑塊B克服摩擦力做功為${W_f}={W_{f1}}+{W_{f2}}=\frac{11mgR}{10}$，
②當(dāng)$S＜\frac{3}{4}R$時(shí)，小車可能獲得的最大動(dòng)能小于${E_k}=\frac{1}{2}×3mv_共^2=\frac{3}{10}mgR$，
滑塊B與車發(fā)生相對(duì)位移2R的過(guò)程中產(chǎn)生的內(nèi)能為：${E_Q}=μ×2mg×2R=\frac{4}{5}mgR$，
兩者之和：$E={E_k}+{E_Q}=\frac{11}{10}mgR$，
滑塊B沖上小車時(shí)具有的初動(dòng)能${E_k}=\frac{1}{2}×2mv_B^2=\frac{5}{4}mgR＞E$，
所以滑塊一定能滑離小車，則滑塊B克服摩擦力做功為：$W_f^{\;}=μ×2mg（L+S）=0.4mg（2R+S）$
答：（1）滑塊A在半圓軌道最低點(diǎn)C處時(shí)的速度大小為$\sqrt{5gR}$；
（2）滑塊B沖上小車后與小車發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小車的位移大小為$\frac{3R}{4}$；
（3）當(dāng)$S≥\frac{3}{4}R$時(shí)，滑塊B克服摩擦力做功為${W_f}={W_{f1}}+{W_{f2}}=\frac{11mgR}{10}$，當(dāng)$S＜\frac{3}{4}R$時(shí)，滑塊B克服摩擦力做功為：$W_f^{\;}=μ×2mg（L+S）=0.4mg（2R+S）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了機(jī)械能守恒定律、向心力公式、動(dòng)量守恒定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式的直接應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程以及受力過(guò)程，知道滑塊A經(jīng)C點(diǎn)恰好能夠通過(guò)半圓軌道的最高點(diǎn)，說(shuō)明在D點(diǎn)由重力提供向心力，注意使用動(dòng)量守恒定律時(shí)要規(guī)定正方向，難度很大．