Question

9．如圖所示，質(zhì)量m=1kg的物塊A放在質(zhì)量M=4kg木板B的左端，起初A、B靜止在水平地面上，現(xiàn)用一水平向左的力F作用在木板B上，已知AB之間的動摩擦因數(shù)為μ₁=0.4，地面與B之間的動摩擦因數(shù)為μ₂=0.1，假設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g=10m/s²．求：
（1）能使AB發(fā)生相對滑動的F的最小值；
（2）若F=30N，作用1s后撤去，要想A不從B上滑落，則木板至少多長，從開始到AB均靜止，A的總位移是多少？

Answer 1

分析 （1）當AB保持相對靜止時，兩者具有相同的加速度，此時A、B間的摩擦力達到最大靜摩擦力，分別對A和整體利用牛頓第二定律求出F的最小值．
（2）根據(jù)牛頓第二定律，運用整體法和隔離法判斷撤去拉力后，A、B能否保持相對靜止，再分別對A、B運用牛頓第二定律和運動學公式，求出A不從B上滑落時木板至少的長度以及從開始到AB均靜止A的總位移．

解答 解：（1）當AB保持相對靜止時，兩者具有相同的加速度，此時A、B間的摩擦力達到最大靜摩擦力，物體相對靜止．
對于A由牛頓第二定律得 μ₁mg=a_m  
代入數(shù)據(jù)解得 ${a}_{m}=4m/{s}^{2}$
對AB整體由牛頓第二定律得 F_min-μ₂（M+m）g=（M+m）a_m  
代入數(shù)據(jù)解得  F_min=25N
（2）設F作用在B上時，A、B的加速度分別為a₁、a₂，撤掉F時速度分別為v₁、v₂，撤去外力F后加速度分別為${a}_{1}^{′}$、${a}_{2}^{′}$．AB共同運動時速度為v₃，加速度為a₂，AB都做勻加速直線運動．
對A由牛頓第二定律可得μ₁mg=ma₁   
代入數(shù)據(jù)解得 ${a}_{1}=4m/{s}^{2}$   
由速度公式得 v₁=a₁t₁=4m/s
對B分析由牛頓第二定律得   F-μ₁mg-μ₂（M+m）g=Ma₂  
代入數(shù)據(jù)解得 ${a}_{2}=5.25m/{s}^{2}$  
由速度公式得  v₂=a₂t₁=5.25m/s
撤去外力后：${a}_{1}^{′}={a}_{1}=4m/{s}^{2}$   ${a}_{2}^{′}=\frac{{μ}_{1}mg+{μ}_{2}（M+m）g}{M}=2.25m/{s}^{2}$
經(jīng)過t₂時間后AB速度相等 ${v}_{1}+{a}_{1}^{′}{t}_{2}={v}_{2}-{a}_{2}^{′}{t}_{2}$ 
代入數(shù)據(jù)解得t₂=0.2s
則共同速度${v}_{3}={v}_{1}+{a}_{1}^{′}{t}_{2}=4.8m/{s}^{2}$
從開始到AB相對靜止．AB的相對位移即為木板最短的長度L
$L={x}_{B}-{x}_{A}=\frac{{v}_{2}^{2}}{2{a}_{2}}+\frac{{v}_{3}^{2}-{v}_{2}^{2}}{2{a}_{2}^{′2}}-\frac{1}{2}{a}_{1}（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}=0.75m$
AB速度相等后共同在水平面上勻減速運動，加速度${a}_{3}={μ}_{2}g=1m/{s}^{2}$
從v₃至最終靜止位移為$x=\frac{{v}_{3}^{2}}{2{a}^{2}}=11.52m$
所以A得總位移為 x_A總=x_A+x=14.4m
答：（1）能使AB發(fā)生相對滑動的F的最小值為25N．
（2）若F=30N，作用1s后撤去，要想A不從B上滑落，則木板至少0.75m，從開始到AB均靜止，A的總位移是14.4m．

點評 本題屬于牛頓運動定律中的典型模型“板塊模型”，可以結合牛頓第二定律和運動學公式綜合求解，．解決本題的關鍵能夠正確地受力分析，運用牛頓第二定律進行求解，注意物體和木板相對滑動到相對靜止的臨界狀態(tài)和整體法、隔離法的運用．