Question

如圖，豎直平面內(nèi)的3/4圓弧形光滑軌道半徑為R，其A端與圓心O等高，AD為水平面，B點(diǎn)在O的正上方．一個(gè)質(zhì)量為m的小球在A點(diǎn)正上方P點(diǎn)由靜止釋放，自由下落至A點(diǎn)進(jìn)入圓弧軌道，從B點(diǎn)平拋落到C點(diǎn)，已知O，A，C在一條直線上，且在過最高點(diǎn)B點(diǎn)時(shí)軌道對小球的作用力恰好等于小球的重力，求：
（1）釋放點(diǎn)P距A點(diǎn)的豎直距離．
（2）小球落點(diǎn)C到A點(diǎn)的水平距離．
（3）小球過最低點(diǎn)B′點(diǎn)時(shí)，對軌道的作用力的大小和方向．

Answer 1

分析：（1）小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道的壓力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球經(jīng)B點(diǎn)的速度，從釋放點(diǎn)到B點(diǎn)運(yùn)用動能定理，根據(jù)機(jī)械能守恒和動能定理求出釋放點(diǎn)距離A點(diǎn)的高度．
（2）小球離開B點(diǎn)做平拋運(yùn)動，高度決定時(shí)間，根據(jù)時(shí)間和B點(diǎn)的速度求出水平距離．
（3）對于小球從P點(diǎn)到B′點(diǎn)的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小球過最低點(diǎn)B′點(diǎn)時(shí)的速度，運(yùn)用牛頓第二定律和第三定律求解．

解答：解：（1）小球經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得：
mg+N_B=m

v 2 B

R

由題意可知：N_B=mg
則得：v_B=

2gR

…①
從釋放點(diǎn)到B點(diǎn)運(yùn)用動能定理得：
mg（h-R）=

1

2

m

v

2 B

…②
由①②解得：h=2R；
（2）小球離開B點(diǎn)做平拋運(yùn)動，
豎直方向有：R=

1

2

gt2… ③
得：t=

2R g

所以落點(diǎn)C與A點(diǎn)的水平距離為：x=v_Bt-R=

2gR

?

2R g

-R=R…④
（3）從釋放點(diǎn)到B′點(diǎn)運(yùn)用動能定理得：
mg（h+R）=

1

2

m

v

′2 B

…⑤
在B′點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：
N_B′-mg=m

v ′2 B

R

…⑥
解得：N_B′=5mg
根據(jù)牛頓第三定律得：小球過最低點(diǎn)B′點(diǎn)時(shí)，對軌道的作用力的大小為：N_B′′=N_B′=5mg，方向豎直向下．
答：（1）釋放點(diǎn)P距A點(diǎn)的豎直距離是2R．
（2）小球落點(diǎn)C到A點(diǎn)的水平距離是R．
（3）小球過最低點(diǎn)B′點(diǎn)時(shí)，對軌道的作用力的大小5mg，方向豎直向下．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵要分析小球圓周運(yùn)動的向心力來源、掌握平拋運(yùn)動、牛頓運(yùn)動定律進(jìn)行求解．