Question

如圖所示，在傾角為θ=37°的足夠長(zhǎng)的斜面上，有質(zhì)量為m₁=2kg的長(zhǎng)木板．開始時(shí)，長(zhǎng)木板上有一質(zhì)量為m₂=1kg的小鐵塊（視為質(zhì)點(diǎn)）以相對(duì)地面的初速度v₀=2m/s 從長(zhǎng)木板的中點(diǎn)沿長(zhǎng)木板向下滑動(dòng)，同時(shí)長(zhǎng)木板在沿斜面向上的拉力作用下始終做速度為v=1m/s的勻速運(yùn)動(dòng)，小鐵塊最終與長(zhǎng)木板一起沿斜面向上做勻速運(yùn)動(dòng)．已知小鐵塊與長(zhǎng)木板、長(zhǎng)木板與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.9，重力加速度為g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8
試求：
（1）小鐵塊在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)時(shí)的加速度；
（2）長(zhǎng)木板至少多長(zhǎng)？
（3）在小鐵塊從木板中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與木板速度相同的過程中拉力做了多少功？

Answer 1

解：（1）設(shè)小鐵塊的加速度大小為a．取沿斜面向上方向?yàn)檎�方向，根�?jù)牛頓第二定律得
f₂-m₂gsinθ=m₂a
又f₂=μN(yùn)₂=μm₂gcosθ
得a=g（μcosθ-sinθ）=1.2m/s²，方向沿斜面向上．
（2）小鐵塊先沿斜面向下做勻減速運(yùn)動(dòng)至速度為零，再沿斜面向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，最終以速度v與長(zhǎng)木板一起沿斜面向上做勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)經(jīng)過時(shí)間t后小鐵塊達(dá)到速度v，則
v-（-v₀）=at
得t==2.5s
設(shè)此段時(shí)間內(nèi)小鐵塊的位移為s₁，木板的位移為s₂，則有
，方向沿斜面向下，s₂=vt，方向沿斜面向上．
∵s₁+s₂
∴L≥2（s₁+s₂）==7.5m
（3）對(duì)木板：F=f₁+f₂+m₁gsinθ，f₁=μN(yùn)₁
則中拉力做功為W=Fs₂=102J
答：
（1）小鐵塊在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)時(shí)的加速度為1.2m/s²，方向沿斜面向上．
（2）長(zhǎng)木板至少為7.5m．
（3）在小鐵塊從木板中點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與木板速度相同的過程中拉力做了102J功．
分析：（1）分析小鐵塊的受力，根據(jù)牛頓第二定律求解小鐵塊在長(zhǎng)木板上滑動(dòng)時(shí)的加速度的大小和方向；
（2）小鐵塊先沿斜面向下做勻減速運(yùn)動(dòng)至速度為零，再沿斜面向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，最終以速度v與長(zhǎng)木板一起沿斜面向上做勻速運(yùn)動(dòng)．根據(jù)速度公式求出小鐵塊從開始向下滑動(dòng)到速度與木板相同所需要的時(shí)間，根據(jù)位移公式求出此過程小鐵塊和木板的位移，由幾何關(guān)系求出長(zhǎng)木板最小的長(zhǎng)度．
（3）對(duì)木板，由平衡條件求出拉力的大小，再求出拉力做功．
點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵要正確分析鐵塊的運(yùn)動(dòng)情況，運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合處理是基本方法．