Question

18．如圖所示，將小物體（可視為質(zhì)點(diǎn)）置于桌面上的長(zhǎng)木板上，木板厚度為0.2m．第一次用一水平力F通過(guò)水平細(xì)線拉長(zhǎng)木板，第二次用水平細(xì)線通過(guò)輕質(zhì)定滑輪用鉤碼牽引長(zhǎng)木板，鉤碼質(zhì)量為M．若長(zhǎng)木板質(zhì)量為m₁=2kg，板長(zhǎng)d=0.75m，小物塊質(zhì)量m₂=4kg，已知各接觸面的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.1，最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等，g取10m/s²．兩種情況長(zhǎng)木板始終未脫離桌面．求：

（1）如果在力F的作用下，小物塊與木板一起運(yùn)動(dòng)，求力F的取值范圍；
（2）如果F=15N，求小物體脫離長(zhǎng)木板所用的時(shí)間．
（3）如果用水平細(xì)線通過(guò)輕質(zhì)定滑輪用兩個(gè)鉤碼牽引長(zhǎng)木板，每個(gè)鉤碼的質(zhì)量M=1kg，小物體能否與長(zhǎng)木板發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)？如果能，求當(dāng)小物體滑落到桌面時(shí)，小物體與長(zhǎng)木板左端的距離；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)小物體與長(zhǎng)木板一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律二者不滑動(dòng)時(shí)的加速度，再以整體為研究對(duì)象求解作用力；小物體與木板一起運(yùn)動(dòng)，拉力大于整體摩擦力，由此求解；
（2）分別以長(zhǎng)木板和物體根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，再根據(jù)位移關(guān)系求解時(shí)間；
（3）求出長(zhǎng)木板和小物體即將發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)鉤碼質(zhì)量，判斷小物體與長(zhǎng)木板發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)；分析二者的運(yùn)動(dòng)情況，不同階段求解加速度大小，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算公式求解相對(duì)位移．

解答 解：（1）當(dāng)小物體與長(zhǎng)木板一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律可得：
對(duì)整體：F-μ（m₁+m₂）g=（m₁+m₂）a，
對(duì)小物體有：f₁=m₂a，
由于f₁≤μm₂g，
所以F≤2μ（m₁+m₂）g=2×0.1×（2+4）×10N=12N；
又小物體與木板一起運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)＞μ（m₁+m₂）g=0.1×（2+4）×10N=6N，
所以力F的取值范圍為6N＜F≤12N；
（2）對(duì)長(zhǎng)板根據(jù)牛頓第二定律可得：F-μ（m₁+m₂）g-μm₂g=m₁a₁，
對(duì)小物體根據(jù)牛頓第二定律可得：μm₂g=m₂a₂，
設(shè)小木板脫離長(zhǎng)木板的時(shí)間為t，根據(jù)位移關(guān)系可得：
$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=d$，
聯(lián)立解得：t=1s；
（3）設(shè)長(zhǎng)木板和小物體即將發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)鉤碼質(zhì)量為M₀，對(duì)小物體根據(jù)牛頓第二定律有：
μm₂g=m₂a₂，解得a₂=1m/s²；
對(duì)長(zhǎng)木板和鉤碼整體根據(jù)牛頓第二定律可得：
M₀g-μ（m₁+m₂）g-μm₂g=（M₀+m₁）a₂，
聯(lián)立解得：M₀=$\frac{4}{3}kg$；
因?yàn)?M＞M₀=$\frac{4}{3}kg$，所以小物體與長(zhǎng)木板發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)；
對(duì)長(zhǎng)木板和鉤碼整體根據(jù)牛頓第二定律可得：
2Mg-μ（m₁+m₂）g-μm₂g=（2M+m₁）a₃，
解得：a₃=2.5m/s²；
小物體剛好從長(zhǎng)木板上滑出，二者的關(guān)系為：
$\frac{1}{2}{a}_{3}{{t}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{1}}^{2}=d$，
聯(lián)立以上各式可得：t₁=1s，
滑出時(shí)小物塊的速度為v₂=a₂t₁=1×1m/s=1m/s，
長(zhǎng)木板的速度v₃=a₃t₁=2.5×1m/s=2.5m/s，
小物體離開(kāi)長(zhǎng)木板后做平拋運(yùn)動(dòng)，則：
h=$\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}$，解得：t₂=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.2}{10}}s$=0.2s，
水平位移：x₁=v₂t₂=1×0.2m=0.2m，
對(duì)于長(zhǎng)木板做勻加速運(yùn)動(dòng)，則：2Mg-μm₁g=（2M+m₁）a₄，
解得：a₄=4.5m/s²，
x₂=v₃t₂+$\frac{1}{2}{a}_{4}{t}_{2}^{2}$=0.59m，
聯(lián)立以上各式可得，當(dāng)小物體滑落到桌面時(shí)，小物體與長(zhǎng)木板左端的距離為：
x=x₂-x₁=0.59m-0.2m=0.39m．
答：（1）如果在力F的作用下，小物塊與木板一起運(yùn)動(dòng)，力F的取值范圍為6N＜F≤12N；
（2）如果F=15N，小物體脫離長(zhǎng)木板所用的時(shí)間為1s．
（3）小物體與長(zhǎng)木板發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)；當(dāng)小物體滑落到桌面時(shí)，小物體與長(zhǎng)木板左端的距離為0.39m．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于牛頓第二定律的綜合應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是弄清楚物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程和受力情況，利用牛頓第二定律或運(yùn)動(dòng)學(xué)的計(jì)算公式求解加速度，再根據(jù)題目要求進(jìn)行解答；知道加速度是聯(lián)系靜力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的橋梁．